Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Mayor

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 08 Abr, 2018 12:38 pm

Se marca un punto $X$ en la base $\overline{BC}$ de un triángulo isósceles $ABC$, y se marcan puntos $P$ y $Q$ en los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ respectivamente de modo que $APXQ$ sea un paralelogramo. Demostrar que el punto $Y$, simétrico de $X$ con respecto a la recta $\overline{PQ}$, pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo pasa por los tres vértices del triángulo. Su centro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. ($5$ Puntos)
Tetraedro inscripto en un paralelepípedo contiene un tercio del volumen de este.

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Gianni De Rico

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Re: Torneo de las Ciudades Marzo 2015 P2 Nivel Mayor

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 08 Abr, 2018 1:59 pm

Spoiler: mostrar
Por reflexión y por ser $APXQ$ un paralelogramo, $P\widehat YQ=P\widehat XQ=P\widehat AQ\Rightarrow AYQP$ es cíclico. Luego, $A\widehat PY=A\widehat QY\Rightarrow Y\widehat PB=Y\widehat QC$
Como $ABC$ es isósceles en $A$ y $XP\parallel AC$, $XQ\parallel AB$, entonces $BPX$ y $XQC$ son isósceles en $P$ y $Q$, respectivamente. Por reflexión, $PY=PX$, $QY=QX$, luego, $PY=PB$ y $QY=QC$, entonces $YPB$, $YQC$ son triángulos isósceles con el ángulo entre los lados congruentes igual, por lo tanto son semejantes y $Y\widehat BP=Y\widehat QC\Rightarrow Y\widehat BA=Y\widehat CA\Rightarrow AYBC$ es cíclico.
[math]

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