Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P2

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Violeta

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Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 06 May, 2018 1:27 pm

En un triángulo acutángulo $ABC$, se construyen puntos $P$ y $Q$ en el segmento $BC$, tal que $\angle ABC= \angle QAC$ y $\angle ACB = \angle PAB$. Sea $M$ el reflejo de $A$ sobre $P$ y $N$ el reflejo de $A$ sobre $Q$. $BM$ y $CN$ se intersecan en $T$.

Probar que $ABTC$ es cíclico.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

ricarlos
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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P2

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 08 May, 2018 10:16 am

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Lema. Sean $ABC$ un triangulo y $AM$ su respectiva mediana (M punto medio de BC). Si el reflejo de $AM$ sobre $BC$ corta al circuncirculo de $ABC$ en $T$ entonces $AT$ es la A-simediana.
Demo. Si $N$ es el punto medio del arco $BTC$ y $U$ es la interseccion de la mediana $AM$ con el circuncirculo es facil ver que los arcos $NT$ y $NU$ son iguales y ya que $AN$ es bisectriz sale de la definicion que $AT$ es la A-simediana.
Nota. Vamos a recalcar del lema anterior que, siendo $A'$ el reflejo de $A$ sobre $BC$ entonces $A'M$ corta a la A-simediana en el circuncirculo de $ABC$.

Problema. Sean $\angle ABC = \beta$ y $\angle ACB = \gamma$. los angulos exteriores en $P$ y en $Q$ a los respectivos triangulos $PAB$ y $QAC$ son iguales, es decir $\angle APC = \angle AQB = \beta + \gamma$. Entonces los triangulos $APQ$ y $AMN$ son isosceles en $A$ (MN//BC).
Llamemos $Z$ al punto medio de $BC$.
Llamemos $X$ al punto medio de $MN$.
Tracemos las tgs al circuncirculo de $ABC$ en los puntos $B$ y $C$ y llamemos $Y$ a la interseccion de ambas (yo aqui no lo voy a probar pero) $\angle YBC = \angle YCB =180-(\beta + \gamma)$, entonces $YC\parallel AN$ y $YB\parallel AM$.
Esto nos muestra que los triangulos $AMN$ y $YBC$ son semejantes. Uno de los lemas conocidos sobre las simedianas es que el punto $Y$, definido por la interseccion de las tgs, se halla sobre la A-simediana de nuestro triangulo $ABC$.
Habiamos dicho que $AMN$ y $YBC$ son semejantes y vemos que sus respectivos vertices $M,B$ asi como $N,C$ se "conectan" a travez de $T$ (por construccion), vale decir que $T$ es el centro de homotesia de dichos triangulos esto supone que la recta que une los vertices $A,Y$ tambien pasa por $T$ entonces $T$ se halla sobre la simediana. Por las propiedades de la homotesia tambien los puntos medios $(X,Z)$ estan alineados con $T$.
Pero $X$ es tambien el reflejo de $A$ sobre $BC$ asi que segun lo dicho en 'Nota', $T=XZ\cap AY$ perteneceria al circuncirculo de $ABC$.
dibu.png
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

jujumas

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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P2

Mensaje sin leer por jujumas » Mar 22 May, 2018 2:07 pm

No es este el 4 de la IMO de 2014?
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