Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

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Violeta

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Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 06 May, 2018 1:36 pm

$ABCD$ es un cuadrado. $P$ y $Q$ son puntos en el interior del cuadrado, tal que $BP=9, DQ=14, PQ=7$ y además $BP \perp PQ \perp DQ$.

Hallar la medida de los lados del cuadrado.
Última edición por Violeta el Dom 06 May, 2018 7:11 pm, editado 3 veces en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Dom 06 May, 2018 4:18 pm

Están bien esas condiciones de perpendicularidad?
[math]

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Violeta

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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 06 May, 2018 5:40 pm

Martín Vacas Vignolo escribió:
Dom 06 May, 2018 4:18 pm
Están bien esas condiciones de perpendicularidad?
Ahora sí
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 06 May, 2018 5:54 pm

Seguro? Porque así $P$ y $Q$ no quedan los dos adentro de $ABCD$
[math]

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Dom 06 May, 2018 5:57 pm

Claro, mi pregunta no apuntaba por redacción, sino que esas condiciones implican que $BP$ y $CQ$ son paralelos, cosa que no puede ocurrir si $P,Q$ son interiores (salvo que "interiores" incluya a los lados del cuadrado...)
[math]

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Violeta

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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 06 May, 2018 7:14 pm

Martín Vacas Vignolo escribió:
Dom 06 May, 2018 5:57 pm
Claro, mi pregunta no apuntaba por redacción, sino que esas condiciones implican que $BP$ y $CQ$ son paralelos, cosa que no puede ocurrir si $P,Q$ son interiores (salvo que "interiores" incluya a los lados del cuadrado...)
AHORA sí.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 06 May, 2018 7:47 pm

Spoiler: mostrar
Sea $E$ el pie de la perpendicular a $BP$ desde $D\Rightarrow DE=7$, entonces $BD=\sqrt{BE^2+49}$ por Pitágoras y $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{BE^2+49}$ por la relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo isósceles.

Tenemos dos casos
Caso $1$: $B$ y $D$ están en semiplanos opuestos respecto de $PQ$
Spoiler: mostrar
Entonces $BE=BP+PE=BP+QD=9+14=23$. Luego, $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{23^2+49}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{529+49}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{578}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{289\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}17\sqrt{2}=17$

El lado del cuadrado mide $17$
Caso $2$: $B$ y $D$ están en el mismo semiplano respecto de $PQ$
Spoiler: mostrar
Entonces $BE=PE-PB=QD-PB=5$. Haciendo las mismas cuentas que antes llegamos a $AB=\sqrt{37}<\sqrt{49}=7<9=BP$, por lo tanto $P$ está afuera del cuadrado.

Este caso no es posible.
Por lo tanto $AB=17$
[math]

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DiegoLedesma
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Re: Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 09 May, 2018 10:14 pm

Spoiler: mostrar
Al ser $BP \perp PQ \perp DQ$, se tiene que $BP\parallel DQ$.
Por ser $P$ y $Q$ puntos en el interior del cuadrado, y $<\hat{B}$ y $\hat{D}$ ángulos opuestos, se tiene que $B$ y $D$ se encuentran en distintos semiplanos respecto a $PQ$.
Trazamos la diagonal $BD$, que corta a $PQ$ en $E$. Luego de completar ángulos ($A\hat{D}Q=C\hat{B}P=\alpha, Q\hat{D}E=P\hat{B}E=45°-\alpha$), se observa que $\bigtriangleup$ $DQE$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $BPE$.
Siendo $DQ=14$ y $BP=7$, planteamos la proporción $\frac{14}{9}=\frac{QE}{EP}=\frac{x}{7-x}$, donde $x=\frac{98}{63}=QE$ y $EP=\frac{63}{23}$.
Y por ser $BD$ diagonal del cuadrado (llamando $L$ al lado de dicho cuadrado), tendremos que $\sqrt{2}L=BE+ED=\sqrt{2}\left ( \sqrt{9^{2}+\left ( \frac{63}{23} \right )^{2}}+\sqrt{14^{2}+\left ( \frac{98}{63} \right )^{2}} \right)=17\sqrt{2}$
$\therefore$ $L=17$

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