Segundo Pretorneo 2018 NM P1

Matías

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Segundo Pretorneo 2018 NM P1

Mensaje sin leer por Matías » Lun 04 Jun, 2018 7:04 pm

Un triángulo es tal que la bisectriz y la altura trazadas desde el mismo vértice dividen al lado opuesto en tres segmentos. Determinar si es posible que para algún caso con esos tres segmentos se pueda construir un triángulo.

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Gianni De Rico

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Re: Segundo Pretorneo 2018 NM P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 04 Jun, 2018 8:37 pm

Spoiler: mostrar
Sea $ABC$ el triángulo, $D$ el pie de la altura desde $C$ y $E$ el pie de la bisectriz desde $E$
Como $D\not \equiv E$ resulta que $AC\neq CB$, supongamos WLOG $AC<CB\Rightarrow \frac{AC}{CB}<1$
Por el Teorema de la Bisectriz tenemos $\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{CB}<1\Rightarrow AE<EB$
Como $AC<CB$ tenemos $E\widehat AC>E\widehat BC\Rightarrow C\widehat EA<C\widehat EB\Rightarrow C\widehat EA<90°$
Luego, $E\widehat CA>90°-E\widehat AC=D\widehat CA$ por lo tanto $D$ está entre $A$ y $E$
Por lo tanto los segmentos en los que queda dividido el lado $AB$ son $AD,DE,EB$. Pero $AD+DE=AE<EB$, luego no satisfacen la desigualdad triangular
Finalmente, nunca podremos armar un triángulo con esos segmentos
Última edición por Gianni De Rico el Dom 10 Jun, 2018 11:05 am, editado 1 vez en total.
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[math]

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Joacoini

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Re: Segundo Pretorneo 2018 NM P1

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 10 Jun, 2018 12:11 am

Spoiler: mostrar
La mediatriz de $BC$ corta al segmento en el punto $M$ y separa el plano en dos semiplanos $b$ (contiene al punto $B$) y $c$ (contiene al punto $C$).
Sea $H$ el pie de la altura trazada por $A$ y sea $D$ el pie de la bisectriz trazada por $A$, si $H $ y $D$ son el mismo punto entonces no se puede formar el triángulo así que $AB\neq AC$.
WLOG $AB<AC$ por lo tanto $A$ esta en $b$.
Como la altura es paralela a la mediatriz $H$ esta en $b$, más específicamente sobre el segmento $BM$.
Llamamos $J $ al punto donde la bisectriz se corta con la mediatriz de $BC$ y como estas dos se cortan en el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ de la circunferencia circunscripta a $ABC$ todos los puntos de la semirecta $JA$ están en el semiplano $b$, esto incluye a $D$.
Ahora $H$ y $D$ están sobre el segmento $BM$, WLOG $BH<BD$.
Los lados para el triángulo son $BH$, $HD$ y $DC$, pero $BH+HD=BD<BM<DC $
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NO HAY ANÁLISIS.

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