Un triángulo es tal que la bisectriz y la altura trazadas desde el mismo vértice dividen al lado opuesto en tres segmentos. Determinar si es posible que para algún caso con esos tres segmentos se pueda construir un triángulo.
Sean $ABC$ el triángulo, $D$ el pie de la altura desde $C$ y $E$ el pie de la bisectriz desde $E$.
Como $D\not \equiv E$ resulta que $AC\neq CB$, supongamos WLOG $AC<CB\Rightarrow \frac{AC}{CB}<1$.
Por el Teorema de la Bisectriz tenemos $\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{CB}<1\Rightarrow AE<EB$.
Como $AC<CB$ tenemos $E\widehat AC>E\widehat BC\Rightarrow C\widehat EA<C\widehat EB\Rightarrow C\widehat EA<90^\circ$.
Luego, $E\widehat CA>90^\circ -E\widehat AC=D\widehat CA$ por lo tanto $D$ está entre $A$ y $E$.
Por lo tanto los segmentos en los que queda dividido el lado $AB$ son $AD,DE,EB$. Pero $AD+DE=AE<EB$, luego no satisfacen la desigualdad triangular.
Finalmente, nunca podremos armar un triángulo con esos segmentos.
Última edición por Gianni De Rico el Dom 10 Jun, 2018 11:05 am, editado 1 vez en total.
La mediatriz de $BC$ corta al segmento en el punto $M$ y separa el plano en dos semiplanos $b$ (contiene al punto $B$) y $c$ (contiene al punto $C$).
Sea $H$ el pie de la altura trazada por $A$ y sea $D$ el pie de la bisectriz trazada por $A$, si $H $ y $D$ son el mismo punto entonces no se puede formar el triángulo así que $AB\neq AC$.
WLOG $AB<AC$ por lo tanto $A$ esta en $b$.
Como la altura es paralela a la mediatriz $H$ esta en $b$, más específicamente sobre el segmento $BM$.
Llamamos $J $ al punto donde la bisectriz se corta con la mediatriz de $BC$ y como estas dos se cortan en el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ de la circunferencia circunscripta a $ABC$ todos los puntos de la semirecta $JA$ están en el semiplano $b$, esto incluye a $D$.
Ahora $H$ y $D$ están sobre el segmento $BM$, WLOG $BH<BD$.
Los lados para el triángulo son $BH$, $HD$ y $DC$, pero $BH+HD=BD<BM<DC $
Para que tres lados (llamémoslos lados $a$, $b$ y $c$) puedan formar un triángulo, se tiene que cumplir que
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$
(Por ejemplo, no podría haber un triángulo con lados $3$, $5$ y $19$)
O sea, en este tipo de problemas en los que te dicen "estos tres valores son lados de triángulos" o algo similar, está bueno tener eso cuenta.
El problema no lo resolví pero intuyo que va por ahí...
