APMO 2018 - P1

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Gianni De Rico

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APMO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 25 Jun, 2018 8:29 pm

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Supongamos que $H$ cae dentro del cuadrilátero $BMNC$ y que los circuncírculos de los triángulos $BMH$ y $CNH$ son tangentes entre sí. La paralela a $BC$ por $H$ intersecta nuevamente a los circuncírculos de los triángulos $BMH$ y $CNH$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sea $F$ el punto de intersección de $MK$ y $NL$ y sea $J$ el incentro del triángulo $MHN$. Demostrar que $FJ=FA$.
[math]

ricarlos
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Re: APMO 2018 - P1

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 30 Jun, 2018 11:48 pm

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Sea $\angle A = \alpha$, vemos que $\angle ACH = \angle ABH = 90-\alpha$, luego por ciclicos $BKMH$ y $CLNH$ tendriamos que $\angle MKH = \angle NLH = 90-\alpha$ (1).
De esto tenemos que $LFK$ es isosceles en $F$.
Observamos que $\angle NFM = 2\alpha$ (2) (deducido del isosceles) y $\angle NAM = \alpha$, luego por angulo central e inscrito, respectivamente, tendriamos que $F$ es el circuncentro de $NAM$.
Dado que $FK=FL$ y $FM=FN$ (3) tendremos que las potencias de $F$ respecto $(BMH)$ y $(CNH)$ son de igual valor por lo tanto el eje radical, es decir la tangente comun en el punto $H$ debe contener a $F$.
Luego tanto $\angle FHM$ como $\angle FHN$ son angulos semiincritos y son iguales, respectivamente, a los angulos inscritos (1) es decir son iguales entre si o sea que $HF$ es una bisectriz del triangulo $MNH$.
Ya que $\angle MHN = 180-2\alpha$ tenemos que $FMHN$ es ciclico por (2) y ademas $F$ es punto medio del arco $NM$ por (3), finalmente sabemos que una circunferencia con centro en dicho punto medio (F) y radio $FM$ va a cortar al segmento $HF$ en $J$ dicha circunferencia sabemos es $(NAM)$ entonces $FA=FJ$.
dibujo.gif
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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