IMO 2008 - P1

[Gianni De Rico]

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ están sobre una misma circunferencia.

[Gianni De Rico]

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IMO 2008 P1.png

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente; $\Gamma _M$ y $\Gamma _N$ las circunferencias de centros $M$ y $N$ que pasan por $H$, respectivamente; y $G$ la segunda intersección de $\Gamma _M$ y $\Gamma _N$.
Por base media, $MN\parallel BC$, por ser eje radical $HG\perp MN$. Luego, $HG$ es una perpendicular a $BC$ por el ortocentro de $\triangle ABC$, por lo tanto, es una altura y $A\in HG$. Por potencia de un punto, $AC_1\cdot AC_2=AB_1\cdot AB_2$ y $B_1B_2C_1C_2$ es cíclico. La mediatriz de $B_1B_2$ es perpendicular a $B_1B_2$ y pasa por su punto medio $N$, luego, es la mediatriz de $AC$, análogamente, la mediatriz de $C_1C_2$ es la mediatriz de $AB$. Entonces el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ es el circuncentro de $B_1B_2C_1C_2$ y $OB_1=OB_2=OC_1=OC_2$. Análogamente, $OA_1=OA_2=OB_1=OB_2$, por lo tanto, $OA_1=OA_2=OB_1=OB_2=OC_1=OC_2$ y $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ es cíclico. QED

[Sandy]

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Sean $D, E$ puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente.
Sean $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias con centros $D, E$ respectivamente.
Sea $Q=\omega_1 \cap \omega_2$.
$DE\parallel AC\Longrightarrow HQ\perp AC\Longrightarrow B\in HQ\Longrightarrow BA_1\times BA_2=BC_1\times BC_2\Longrightarrow A_1A_2C_1C_2$ son concíclicos, sea $\Omega_1$ su circunferencia. Análogamente, $A_1A_2B_1B_2$ y $B_1B_2C_1C_2$ son concíclicos, sean $\Omega_2$ y $\Omega_3$ sus circunferencias.
Supongamos que $\Omega_1\neq\Omega_2\neq\Omega_3$.
Los ejes radicales de $(\Omega_1\Omega_2$), $(\Omega_2\Omega_3)$ y $(\Omega_3\Omega_1)$ son las rectas $BC, CA, AB$ respectivamente, que no son ni concurrentes ni paralelas, lo cual es absurdo. Luego $\Omega_1=\Omega_2=\Omega_3$ y $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ son concíclicos.