IMO 2007 - P2

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 609
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

IMO 2007 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 12:59 pm

Se consideran cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilátero cíclico y convexo. Sea $l$ una recta que pasa por $A$. Supongamos que $l$ corta a segmento $DC$ en un punto interior $F$ y a la recta $BC$ en $G$. Supongamos también que $EF=EG=EC$.
Demostrar que $l$ es la bisectriz del ángulo $D\widehat AB$.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 609
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: IMO 2007 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 4:04 pm

Spoiler: mostrar
Sean $H=AC\cap BD$, $M$ el punto medio de $CF$ y $N$ el punto medio de $CG$. Como $ABCD$ es un paralelogramo, $H$ es el punto medio de $AC$ y de $BD$.
Por base media $MN\parallel FG\parallel l$ y $HM\parallel AF\parallel l$, luego $H,M,N$ están sobre una recta paralela a $l$ por $M$.
Como $EF=EC=EG$, resulta $EM\perp FC$ y $EN\perp CG$, luego, $EMCN$ es cíclico. Ahora, $E\widehat BH=E\widehat BD=E\widehat CD=E\widehat CM=E\widehat NM=E\widehat NH$, por lo que $ENBH$ es cíclico y $E\widehat HB=180°-E\widehat NB=90°$. Como además $H$ es punto medio de $BD$, tenemos que $EH$ es mediatriz de $BD$ y $EB=ED$. Por otro lado, $EC=EF$ y $E\widehat CF=E\widehat CM=E\widehat BD$. Entonces $\triangle ECF$ y $\triangle EBD$ son dos isósceles con los ángulos de la base iguales, luego son rotohomotéticos con centro $E$. Por lo tanto $\triangle BCE\equiv \triangle DFE\Rightarrow DF=BC=DA$, luego, $F\widehat AD=D\widehat FA=B\widehat AF$ por ángulos entre paralelas. Entonces $l$ es bisectriz de $B\widehat AD$. QED
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

Responder