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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 1:12 pm

En un triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en $R$ ($R\neq C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$.
Demostrar que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen áreas iguales.
[math]

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Re: IMO 2007 - P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 02 Ago, 2018 2:05 pm

Spoiler: mostrar
Sea $O=PK\cap LQ$ y $G$ el punto medio de $CR$. Entonces $O$ es el circuncentro de $ABC$ y $OG\perp CR$. Además tenemos $L\widehat CQ=K\widehat CP$ por bisectriz y $C\widehat LQ=C\widehat KP=90°$, luego, $\triangle CLQ\simeq \triangle CKP\Rightarrow \frac{KP}{LQ}=\frac{PC}{QC}$ y $O\widehat QP=L\widehat QC=K\widehat PC$ por lo que $G$ es el punto medio de $PQ$ (ya que el triángulo $OPQ$ es isósceles en $O$ y $OG$ es altura). Luego, $QR=PC\wedge PR=QC\Rightarrow \frac{PR}{QR}=\frac{QC}{PC}$. Ahora $\frac{(RPK)}{(RQL)}=\frac{PR\cdot KP\cdot \sin R\widehat PK}{QR\cdot LQ\cdot \sin R\widehat QL}=\frac{QC}{PC}\cdot \frac{PC}{QC}\cdot \frac{\sin C\widehat QL}{\sin C\widehat PK}=1\cdot 1\cdot 1=1$
Por lo tanto $(RPK)=(RQL)$
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[math]

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