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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 1:28 pm

Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$ y $A_2$ en $BC$, $B_1$ y $B_2$ en $CA$, $C_1$ y $C_2$ en $AB$. Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ cuyos lados son todos iguales. Demuestre que las rectas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.
[math]

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Re: IMO 2005 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 6:49 pm

Spoiler: mostrar
Parte fea:
Tenemos $\vec{A_1A_2}+\vec{A_2B_1}+\vec{B_1B_2}+\vec{B_2C_1}+\vec{C_1C_2}+\vec{C_2A_1}=\vec 0$, como $\vec{A_1A_2},\vec{B_1B_2},\vec{C_1C_2}$ están sobre los lados de un triángulo equilátero y tienen el mismo módulo, resulta $\vec{A_1A_2}+\vec{B_1B_2}+\vec{C_1C_2}=\vec 0$. Luego, $\vec{A_2B_1}+\vec{B_2C_1}+\vec{C_2A_1}=\vec 0$. Pero como tienen el mismo módulo, forman un triángulo equilátero.

Parte linda:
Entonces $A_2B_1$ se obtiene rotando $60°$ en sentido horario a $C_2A_1$, y $B_1B_2$ se obtiene rotando $60°$ en sentido horario a $A_1A_2$. Por lo tanto $A_2\widehat{B_1}B_2=C_2\widehat{A_1}A_2$ y como $C_2A_1=A_1A_2=A_2B_1=B_1B_2$ tenemos $\triangle C_2A_1A_2\equiv \triangle A_2B_1B_2\Rightarrow C_2A_2=A_2B_2$. Análogamente, $B_2C_2=C_2A_2$ y $\triangle A_2B_2C_2$ es equilátero.
Luego, $A_1B_2,B_1C_2,C_1A_2$ son las mediatrices de $C_2A_2,A_2B_2,B_2C_2$ respectivamente, por lo tanto, son concurrentes. QED
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[math]

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