IMO 2018 - P1

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Violeta

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Mensaje sin leer por Violeta » Lun 09 Jul, 2018 9:20 am

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y son tales que $AD=AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ cortan a los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas (o son la misma recta).
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: IMO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 09 Jul, 2018 2:06 pm

Con analítica muere al toque...
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Por suerte tengo una solución posta

Sean $H$ la segunda intersección de $FD$ con $\Gamma$ e $I$ la segunda intersección de $GE$ con $\Gamma$. Luego $A\widehat HD=A\widehat HF=A\widehat BF=D\widehat BF=B\widehat DF=A\widehat DH$ y $AH=AD$. Análogamente, $AI=AE$. Como $AD=AE$ tenemos que $A$ es el circuncentro de $DEHI$, en particular, $DEHI$ es cíclico y $E\widehat DH=E\widehat IH=G\widehat IH=G\widehat FH=G\widehat FD$. Por lo tanto, $DE\parallel FG$
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[math]

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Violeta

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Re: IMO 2018 - P1

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 09 Jul, 2018 5:04 pm

Gianni De Rico escribió:
Lun 09 Jul, 2018 2:06 pm
Con analítica muere al toque...
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Por suerte tengo una solución posta

Sean $H$ la segunda intersección de $FD$ con $\Gamma$ e $I$ la segunda intersección de $GE$ con $\Gamma$. Luego $A\widehat HD=A\widehat HF=A\widehat BF=D\widehat BF=B\widehat DF=A\widehat DH$ y $AH=AD$. Análogamente, $AI=AE$. Como $AD=AE$ tenemos que $A$ es el circuncentro de $DEHI$, en particular, $DEHI$ es cíclico y $E\widehat DH=E\widehat IH=G\widehat IH=G\widehat FH=G\widehat FD$. Por lo tanto, $DE\parallel FG$
No te puedo decir si esa es la solución oficial, pero es la más común que he visto. Por lo menos la primera parte siempre ha sido la misma.

Luego de
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$DEHI$ cíclico
, tomé otra ruta.
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Digamos que $DH$ e $IE$ se intersecan en un punto $P$. Luego, por potencia de un punto $DP \cdot PH = EP \cdot PI$ y $FP \cdot PH = GP \cdot PI$.
Dividiendo, obtenemos $\frac{DP}{FP} = \frac{EP}{GP}$ que es suficiente para probar que $DE$ y $FG$ son paralelos.
De todos modos, aparentemente "no mucha" (comparado con la cantidad de gente que usualmente hace el 1) gente hizo el 1.
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Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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