Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ la reflexión de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ interseca a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ interseca a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Pruebe que $CN=2AL$.
Como $CTBR$ es cíclico tenemos $R\widehat CT=180^\circ -T\widehat BR=180^\circ -T\widehat BT'=180^\circ -2T\widehat BA=180^\circ -2T\widehat CA$, pero $N\widehat CR+R\widehat CT+T\widehat CA=180^\circ$, por lo tanto, $N\widehat CR=T\widehat CA=O\widehat CL=90^\circ -O\widehat LC$, y como $CT$ es diámetro, resulta $C\widehat RN=90^\circ =C\widehat OL$. Sea $D=AT\cap OL$, como $CT$ es diámetro, tenemos $T\widehat AD=90^\circ$. De esto resulta que $ADOC$ es cíclico y que $L\widehat AC=90^\circ \Rightarrow \triangle CRN\simeq \triangle DAL$. Sea $E$ en $RT$ tal que $CE\perp CN$, luego, $\triangle ECN\simeq \triangle CRN\simeq \triangle DAL\Rightarrow \frac{CN}{AL}=\frac{CE}{AD}$.
Ahora, $O$ es el punto medio de $CT$ y $OD\perp CT$, de donde $OD$ es mediatriz de $CT$ y $D\widehat CT=D\widehat TC$. Además $A\widehat TR=R\widehat CN=A\widehat DL=A\widehat CO$. Luego $A\widehat OD=A\widehat CD=A\widehat CO-D\widehat CT=A\widehat TR-D\widehat TC=C\widehat TE$. Por otro lado\begin{align*}C\widehat ET & =180^\circ -C\widehat EN \\
& =180^\circ -(90^\circ -C\widehat NR) \\
& =180^\circ -(90^\circ -A\widehat LD) \\
& =180^\circ -A\widehat DL \\
& =A\widehat DO.
\end{align*}Entonces $\triangle ADO\simeq \triangle CET\Rightarrow \frac{CE}{AD}=\frac{CT}{AO}$. Como $CT$ es diámetro y $AO$ es radio, resulta $\frac{CN}{AL}=\frac{CE}{AD}=\frac{CT}{AO}=2$.
Por lo tanto $CN=2AL$.
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