Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

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Luli97

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 03 Ago, 2018 4:50 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. En el arco $BC$ de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$ y no contiene al punto $A$ se eligen los puntos $X$, $Y$ tales que $BX=CY$. Sea $M$ el punto medio del segmento $AX$. Demostrar que $BM+CM \geq AY$.

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BrunoDS

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 4

Mensaje sin leer por BrunoDS » Sab 04 Ago, 2018 9:17 pm

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Sea $D$ un punto sobre el arco $AC$ que contiene a $B$ tal que $AD=BX=CY$.

Notemos que $ADBX$ es un trapecio isósceles, por lo que $\angle DAX=\angle BXA$. Además, como $AM=MX$, tenemos que los triángulos $DAM$ y $BXM$ son congruentes, de donde $BM=DM$.

Ahora, también notemos que $ADYC$ es un trapecio isósceles, de donde $AY=DC$.

Por desigualdad traingular en el triángulo $DMC$ (la igualdad vale si y sólo si estos tres puntos son colineales):

$DM+MC \geq DC$

Reemplazando:

$BM+CM \geq AY$.

Como queríamos demostrar.
2  
$B > \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

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