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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:25 pm

Se consideran en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y sea $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro de $AMN$ cuando $M$ recorre la circunferencia.
[math]

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Re: Ibero 2004 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:56 pm

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Probaremos una generalización:
"Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, sea $M$ un punto sobre $\Gamma$ y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$ en $\Gamma$, y sea $A$ un punto que no pertenece a $\Gamma$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro de $AMN$ cuando $M$ recorre $\Gamma$."
Sea $A'$ el inverso de $A$ por $\Gamma$ y sea $A''$ el reflejo de $A'$ por $O$. Por definición de inversión $OA\cdot OA'=r^2$ y por reflexión $OA'=-OA''$, luego $OA\cdot OA''=-r^2=OM\cdot ON$. Por potencia de un punto $AMA''N$ es cíclico y su circuncírculo es $\omega$, de donde el circuncentro $G$ de $AMN$ está sobre la mediatriz de $AA''$. Recíprocamente, para cualquier punto $G'$ sobre la mediatriz de $AA''$, la circunferencia $\omega '$ de centro $G'$ y radio $G'A=G'A''$ corta a $\Gamma$ en $M'$ y $N'$, si $N''$ es la segunda intersección de $M'O$ con $\Gamma$ tenemos $OM'\cdot ON''=-r^2=OA\cdot OA''$ y $AM'A''N''$ es cíclico, pero como $A\not \in \Gamma$ entonces $\Gamma \not \equiv \omega '$, de donde $N''\equiv N'$, $M'$ y $N'$ son opuestos diametrales en $\Gamma$ y $G'$ es el circuncentro de $AM'N'$
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[math]

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