Ibero 2004 - P5

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 10:34 pm

Sea $ABC$ un triángulo escaleno. Sean $A'$, $B'$ y $C'$ los pies de las bisectrices de $\widehat A$, $\widehat B$ y $\widehat C$ en $ABC$, respectivamente. La mediatriz de $AA'$ y la recta $BC$ se cortan en $A''$, la mediatriz de $BB'$ y la recta $CA$ se cortan en $B''$, la mediatriz de $CC'$ y la recta $AB$ se cortan en $C''$.
Demostrar que $A''$, $B''$ y $C''$ están alineados.
[math]

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Re: Ibero 2004 - P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 04 Ago, 2018 11:08 pm

Spoiler: mostrar
Sean $\Gamma _A$ la circunferencia de Apolonio de $A$ respecto de $BC$, $\Gamma _B$ la circunferencia de Apolonio de $B$ respecto de $CA$ y $\Gamma _C$ la circunferencia de Apolonio de $C$ respecto de $AB$.
Como $A$ y $A'$ están sobre $\Gamma _A$ y $A''$ es la intersección de la mediatriz de $AA'$ con $BC$, resulta que $A''$ es el centro de $\Gamma _A$. Análogamente, $B''$ es el centro de $\Gamma _B$ y $C''$ es el centro de $\Gamma _C$.
Sean $D$ y $E$ los puntos de concurrencia de $\Gamma _A$, $\Gamma _B$ y $\Gamma _C$ (existen por ser las circunferencias de Apolonio de $ABC$). Luego, $A''$, $B''$ y $C''$ están alineados sobre la mediatriz de $DE$.
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[math]

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