Entrenamiento Cono 2018 P3

Matías

OFO - Medalla de Bronce FOFO Pascua 2017 - Medalla OFO - Medalla de Plata
Mensajes: 157
Registrado: Mar 06 Oct, 2015 7:59 pm
Medallas: 4
Nivel: 2

Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por Matías » Vie 10 Ago, 2018 8:18 pm

Sea $ABC$ un triángulo y sea $Z$ un punto en su interior que no pertenece al perímetro de $ABC$. Sea $D$ la intersección de la recta $AZ$ con $BC$. Sea $X$ un punto en $AB$ tal que $XD$ bisecta al segmento $BZ$, análogamente sea $Y$ un punto en $AC$ tal que $YD$ bisecta al segmento $CZ$. Demostrar que $Z$ está en el interior del triángulo $AXY$.

Avatar de Usuario
¿hola?

OFO - Mención OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 88
Registrado: Vie 01 Ene, 2016 1:12 am
Medallas: 3
Nivel: 2
Ubicación: Rosario

Re: Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 11 Ago, 2018 7:35 pm

Spoiler: mostrar
Supongamos que $B$, $C$, $D$, $Z$ son fijos. $A$ es la intersección de $DZ$, $CY$ y $BX$.
el punto medio de $ZC$ es $W$ y el de $ZB$ es $M$
la paralela a $CB$ que pasa por $Z$ corta a $DW$ en $J$ y a $DM$ en $F$.
supongamos $Y=J$
como $BC$ es paralela a $FY$ tenemos por tales que $\frac{DW}{WY} = \frac{ZW}{WC}=1$ lo que implica $ZW=WC$
veamos que $ZWD$ es congruente con $YWC$ de acá tenemos que $D\hat{Z}W = W\hat{C}Y$ lo que implica $ZD$ es paralela a $YC$ lo que implica que $A$ no existe. absurdo.
si $Y$ no esta en el segmento $DJ$ claramente nos queda $Z$ fuera de $ABC$ por que $YC$ corta $ZD$ en $A$ por debajo de $BC$, absurdo.
lo que implica que $Y$ esta en el segmento $JC$ y es distinto de $J$.
analogamente $X$ eata en el segmento $FB$ y es distinto de $F$.
esto implica que $Z$ esta en $AXY$
Yes, he who

Avatar de Usuario
DiegoLedesma
Mensajes: 29
Registrado: Vie 28 Jul, 2017 9:21 pm
Nivel: Otro

Re: Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 12 Ago, 2018 11:03 am

Spoiler: mostrar
Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección entre $BZ$-$XD$ y $CZ$-$YD$ respectivamente.
Al ser $E$ y $F$ puntos medios de $BZ$ y $CZ$ respectivamente, se tiene que $BE=EZ$ y $CF=FZ$.
Aplicando Menelao en $\bigtriangleup$ $ABZ$: $\frac{DZ}{AD}$.$\frac{AX}{XB}$.$\frac {BE}{EZ}$$=1$, y al ser $BE=EZ$, se llega a: $\frac{AX}{XB}$=$\frac{AD}{DZ}$ (*)
También, por Menelao en $\bigtriangleup$ $ACZ$: $\frac{DZ}{AD}$.$\frac{AY}{YC}$.$\frac {CF}{FZ}$=$1$, pero por ser $CF=FZ$, se llega a: $\frac{AY}{YC}$=$\frac{AD}{DZ}$ (#)
De (*) y (#), se obtiene: $\frac{AX}{XB}$=$\frac{AY}{YC}$, lo cual -aplicando Thales- significará que $XY$ $\parallel$ $BC$
Supongamos que Z pertenece al segmento $XY$, por Thales tendríamos: $\frac{AY}{YC}$=$\frac{AZ}{DZ}$. Teniendo en cuenta lo obtenido en (#): $\frac{AY}{YC}$=$\frac {AD}{DZ}$, y por ser $AD>AZ$, se deduce que la medida de $DZ$ será mayor a la que tomara si perteneciera a $XY$, con lo que Z se encuentra en el interior del triángulo $AXY$. (Q.E.D.)

Responder