Entrenamiento Cono 2018 P3

Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por Matías » Vie 10 Ago, 2018 8:18 pm

Sea $ABC$ un triángulo y sea $Z$ un punto en su interior que no pertenece al perímetro de $ABC$. Sea $D$ la intersección de la recta $AZ$ con $BC$. Sea $X$ un punto en $AB$ tal que $XD$ bisecta al segmento $BZ$, análogamente sea $Y$ un punto en $AC$ tal que $YD$ bisecta al segmento $CZ$. Demostrar que $Z$ está en el interior del triángulo $AXY$.

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¿hola?

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por ¿hola? » Sab 11 Ago, 2018 7:35 pm

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Supongamos que $B$, $C$, $D$, $Z$ son fijos. $A$ es la intersección de $DZ$, $CY$ y $BX$.
el punto medio de $ZC$ es $W$ y el de $ZB$ es $M$
la paralela a $CB$ que pasa por $Z$ corta a $DW$ en $J$ y a $DM$ en $F$.
supongamos $Y=J$
como $BC$ es paralela a $FY$ tenemos por tales que $\frac{DW}{WY} = \frac{ZW}{WC}=1$ lo que implica $ZW=WC$
veamos que $ZWD$ es congruente con $YWC$ de acá tenemos que $D\hat{Z}W = W\hat{C}Y$ lo que implica $ZD$ es paralela a $YC$ lo que implica que $A$ no existe. absurdo.
si $Y$ no esta en el segmento $DJ$ claramente nos queda $Z$ fuera de $ABC$ por que $YC$ corta $ZD$ en $A$ por debajo de $BC$, absurdo.
lo que implica que $Y$ esta en el segmento $JC$ y es distinto de $J$.
analogamente $X$ eata en el segmento $FB$ y es distinto de $F$.
esto implica que $Z$ esta en $AXY$
Yes, he who

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DiegoLedesma
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Re: Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 12 Ago, 2018 11:03 am

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Sean $E$ y $F$ los puntos de intersección entre $BZ$-$XD$ y $CZ$-$YD$ respectivamente.
Al ser $E$ y $F$ puntos medios de $BZ$ y $CZ$ respectivamente, se tiene que $BE=EZ$ y $CF=FZ$.
Aplicando Menelao en $\bigtriangleup$ $ABZ$: $\frac{DZ}{AD}$.$\frac{AX}{XB}$.$\frac {BE}{EZ}$$=1$, y al ser $BE=EZ$, se llega a: $\frac{AX}{XB}$=$\frac{AD}{DZ}$ (*)
También, por Menelao en $\bigtriangleup$ $ACZ$: $\frac{DZ}{AD}$.$\frac{AY}{YC}$.$\frac {CF}{FZ}$=$1$, pero por ser $CF=FZ$, se llega a: $\frac{AY}{YC}$=$\frac{AD}{DZ}$ (#)
De (*) y (#), se obtiene: $\frac{AX}{XB}$=$\frac{AY}{YC}$, lo cual -aplicando Thales- significará que $XY$ $\parallel$ $BC$
Supongamos que Z pertenece al segmento $XY$, por Thales tendríamos: $\frac{AY}{YC}$=$\frac{AZ}{DZ}$. Teniendo en cuenta lo obtenido en (#): $\frac{AY}{YC}$=$\frac {AD}{DZ}$, y por ser $AD>AZ$, se deduce que la medida de $DZ$ será mayor a la que tomara si perteneciera a $XY$, con lo que Z se encuentra en el interior del triángulo $AXY$. (Q.E.D.)

BrunZo

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 17 Nov, 2018 2:29 pm

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Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BZ$ y $CZ$ respectivamente. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la recta paralela a $BC$ por $Z$ con los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente. Como $BD\parallel EZ$, $\triangle ABD\sim\triangle AEZ$. Como $E$ pertenece al segmento $AB$, $AE<AB\Rightarrow EZ<BD$. Análogamente, $FZ<CD$. Sea $O$ la intersección de $BZ$ y $DE$, luego $\triangle BDO\sim\triangle ZEO$ con $EZ<BD$, por lo que, como antes, $ZO<BO$. Luego, $BO>\frac{BZ}{2}$, por lo que, $BM=\frac{BZ}{2}<BO$ y $M$ pertenece al segmento $BO$. Por lo tanto, $M$ pertenece al ángulo $\angle BDO=\angle BDE$, por lo que, $X$ pertenece al segmento $BE$. Análogamente, es deducible que $Y$ pertenece al segmento $CF$. Entonces, $E$ y $F$ están dentro de $AXY$ (puesto que están en su perímetro), y como todo triángulo es una figura convexa, cualquier punto del segmento $EF$, en este caso $Z$, está dentro de $AXY$, como queríamos demostrar.

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