Entrenamiento Cono 2018 P8

Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P8

Mensaje sin leer por Matías » Vie 10 Ago, 2018 8:43 pm

Se tiene el triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle{ABC}=90°$ y se escogen puntos $D$ y $E$ en los segmentos $AB$ y $BC$ tales que $BD=BE$. Sea $G$ el punto tal que $DG\perp AB$ y $EG\perp BC$ y sea $F$ la intersección de las rectas $AE$ y $CD$. Si $M$ es el punto medio de $AC$, demostrar que $FG$ y $BM$ se cortan en un punto de la circunferencia circunsctipta de $ABC$.
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ricarlos
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Re: Entrenamiento Cono 2018 P8

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 11 Ago, 2018 4:15 pm

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Llamemos $X$ a la interseccion de $BM$ con el circuncirculo de $ABC$. Sean $D'$ y $E'$ puntos sobre $CX$ y $AX$, respectivamente, tales que $DD'\parallel BC$ y $EE'\parallel AB$. Tambien definimos $Y=DE\cap AC$ y $Z=D'E'\cap AC$.

Por teorema de Menelao en triangulo ABC y transversal YDE, primero y AXC y transversal ZE'D' despues, tenemos

$\frac{CE}{BE}\frac{BD}{AD}\frac{YA}{YC}=1$ de donde nos queda $\frac{YA}{YC}=\frac{CE}{AD}$

$\frac{CD'}{D'X}\frac{XE'}{AE'}\frac{ZA}{ZC}=1$ de donde nos queda $\frac{ZA}{ZC}=\frac{XE'}{XD'}$

Por construccion sabemos que $CE=XE'$ y $AD=XD'$ igualando entonces $\frac{YA}{YC}= \frac{ZA}{ZC}$

$YC=YA+AC$
$ZC=ZA+AC$, si lo reemplazamos en la anterior tenemos

$\frac{YA}{YA+AC}= \frac{ZA}{ZA+AC}$ (saltenado nos queda) $1 + \frac{AC}{ZA}= 1 + \frac{AC}{YA}$

Y asi $\frac{AC}{ZA}= \frac{AC}{YA}$, es decir $ZA=YA$. Se trata entonces de ver que $DE,AC,D'E'$ son concurrentes.

Dicha concurrencia coincide entonces con las rectas que pasan por los vertices de los triangulos $DD'C$ y $EE'A$ (asi en ese orden) que de acuerdo al teorema de Desargues son perspectivos con lo cual los respectivos lados deben de intersectar sobre una linea (eje de perspectiva), $CD'$ y $AE'$ sabemos que concurren en $X$ y los otros pares de lados $CD, AE$ y $DD', EE'$ concurren, respectivamente, en $F$ y $G$.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P8

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Ago, 2018 5:12 pm

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Para no complicarse la vida tratando de entender qué significa el último párrafo, que usa palabras como "triángulos perspectivos" y cosas avanzadas, ver acá
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