Entrenamiento Cono 2018 P18

Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 3:04 pm

Sea $ABC$ un triángulo no degenerado e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. $D$ es el punto medio del segmento $CI$. Si se sabe que $\frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CA}$, demostrar que $AC=BC$.

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Joacoini

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 11 Ago, 2018 5:24 pm

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Lema: El circulo de la circunferencia de Apolonio que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=r$, $r\neq 1$ y el círculo de la que contiene a los puntos $P$ tales que $\frac{AP}{BP}=\frac{1}{r}$ no tienen puntos en común.

Demostración: Los dos círculos son simétricos respecto a la mediatriz de $AB$ por lo que si comparten algún punto es porque las circunferencias se cortan en la mediatriz. Sea $X$ el punto de corte como $X$ está en la mediatriz $\frac{AX}{BX}=1$ pero como está en la circunferencia de Apolonio $\frac{AX}{BX}=r$ Contradicción

Volviendo al problema $E=CI\bigcap AB$ por el teorema de la bisectriz $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{BE}$ y por el enunciado $\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{r}$.

Si $r\neq 1$ tenemos que el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $C$ y $E$ y el círculo de la circunferencia de Apolonio que contiene a $D$ no comparten puntos pero $D$ está en la cuerda $CE$ contradicción.

Si $r=1$ los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre la mediatriz de $AB$ por lo tanto $AC=BC$
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DiegoLedesma
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Re: Entrenamiento Cono 2018 P18

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mié 22 Ago, 2018 9:49 pm

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Sea $E$ el punto de intersección entre la recta $CI$ y el lado $AB$.
Además, se tiene que: $\frac{AD}{BD}= \frac{BC}{AC}$:
*Si $AC>BC$ $\Rightarrow$ $BD>AD$. Por teorema de la bisectriz: $\frac{AC}{BC}= \frac{AE}{BE}$ $\Rightarrow$ $AE>BE$
Aplicando teorema de Stewart en $\bigtriangleup$ $ACE$ y $\bigtriangleup$ $BCE$, se obtiene, respectivamente: $AD^{2}.CE=AC^{2}.ED+AE^{2}.CD-AD.DC.CE$ $BD^{2}.CE=BC^{2}.ED+BE^{2}.CD-AD.DC.CE$
Igualando ambas expresiones, nos queda: $AC^{2}.ED+AE^{2}.CD-AD^{2}.CE=BC^{2}.ED+BE^{2}.CD-BD^{2}.CE$
Agrupando convenientemente: $ED.(AC^{2}-BC^{2})+CD.(AE^{2}-BE^{2})+CE.(BD^{2}-AD^{2})=0$ (Absurdo), pues $AC>BC$, $AE>BE$ y $BD>AD$.
Absurdo al que también se arribará en caso de ser $AC<BC$.
$\therefore$ $AC=BC$ (Q.E.D.)

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