Entrenamiento Cono 2018 P23

Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P23

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 4:50 pm

Dos circunferencias distintas $\omega_1$ y $\omega_2$ tales que ninguna contiene a la otra se cortan en $A$ y $B$. Sea $C$ un punto en $\omega_2$ ($C\neq A$ y $C\neq B$). Las rectas $CA$ y $CB$ cortan otra vez a $\omega_1$ en $F$ y $G$ respectivamente. Las tangentes a $\omega_1$ por $F$ y $G$ se cortan en $D$. Las rectas $AG$ y $BF$ se cortan en $E$. Probar que $C$, $D$ y $E$ son colineales.
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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P23

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Ago, 2018 5:58 pm

Solución con dualidad:
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Sea $I=FG\cap AB$. Por Brokard $CE$ es la polar de $I$ respecto a $\omega _1$, pero $D$ es el polo de $FG$, por lo que está en la polar de $I$ (Teorema de La Hire). Se sigue que $C$, $D$, $E$ son colineales.
Solución:
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Vamos a usar el Teorema de Pascal, y siempre escribimos al hexágono como $A_1B_2A_3B_1A_2B_3$. Además, llamamos $PP$ a la tangente a la circunferencia por el punto $P$ (con esta notación, $D=FF\cap GG$).
Por Pascal en $FFAGGB$ tenemos que $D=FF\cap GG$, $C=FA\cap GB$ y $E=AG\cap BF$ están alineados.
Comentario:
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Como se ve, el problema sigue valiendo sin importar si $C$ está sobre $\omega _2$ o no, de hecho, la segunda demostración es parte de la demostración que yo conozco del Teorema de Brokard.
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