Entrenamiento Cono 2018 P28

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P28

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 17 Ago, 2018 10:29 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ la circunferencía circunscrita a al triángulo $ABC$ y $D$ un punto sobre el segmento $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$, $E$ el pie de la perpendicular de $D$ a $AB$ y $F$ la intersección de la recta $DE$ con el arco menor $BC$ de $\Gamma$. Si se sabe que $\angle DAE=\angle AFE$, demostrar que las rectas $EM$ y $CF$ y la recta tangente por $A$ a $\Gamma$ concurren.
NO HAY ANÁLISIS.

ricarlos
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Re: Entrenamiento Cono 2018 P28

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 18 Ago, 2018 5:57 pm

Spoiler: mostrar
Sea $G$ la interseccion, nuevamente, de $DE$ con la circunferencia. Como $\angle AFG = \angle DAB$ es $AD\parallel BG$.
Sea $P = AG\cap BD$, sabemos que $EM$ intersecta en el punto medio de $BG$ luego $EM$ es la mediana del triangulo $APD$. (tambien se puede argumentar la concurrencia de EM hacia P con cuaternas en el cuadrilatero BGAD)

Hasta aqui tenemos P, E, M colineales.

Sea $Q$ la interseccion de la tg por A con $CF$. Con el teorema de Pascal en el hexagono $AAGFCD$ tenemos que $Q = AA\cap CF$ , $P = AG\cap CB$, $E = GF\cap AB$ son colineales. Esta colinealidad y la anterior incluyen los puntos P y E entonces E, M y Q son colineales.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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