Entrenamiento Cono 2018 P28

[Joacoini]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ la circunferencía circunscrita a al triángulo $ABC$ y $D$ un punto sobre el segmento $BC$. Sea $M$ el punto medio de $AD$, $E$ el pie de la perpendicular de $D$ a $AB$ y $F$ la intersección de la recta $DE$ con el arco menor $BC$ de $\Gamma$. Si se sabe que $\angle DAE=\angle AFE$, demostrar que las rectas $EM$ y $CF$ y la recta tangente por $A$ a $\Gamma$ concurren.

[ricarlos]

Spoiler: mostrar

Sea $G$ la interseccion, nuevamente, de $DE$ con la circunferencia. Como $\angle AFG = \angle DAB$ es $AD\parallel BG$.
Sea $P = AG\cap BD$, sabemos que $EM$ intersecta en el punto medio de $BG$ luego $EM$ es la mediana del triangulo $APD$. (tambien se puede argumentar la concurrencia de EM hacia P con cuaternas en el cuadrilatero BGAD)

Hasta aqui tenemos P, E, M colineales.

Sea $Q$ la interseccion de la tg por A con $CF$. Con el teorema de Pascal en el hexagono $AAGFCD$ tenemos que $Q = AA\cap CF$ , $P = AG\cap CB$, $E = GF\cap AB$ son colineales. Esta colinealidad y la anterior incluyen los puntos P y E entonces E, M y Q son colineales.