Entrenamiento Cono 2018 P32

[Joacoini]

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo con lados no paralelos y tangentes a una circunferencia $\Gamma$ en los punto medios $P$, $Q$, $R$ de los lados $AB$, $CD$, $EF$ respectivamente. $\Gamma$ es tangente a $BC$, $DE$ y $FA$ en los puntos $X$, $Y$, $Z$ respectivamente. La recta $AB$ corta a las recta $EF$ y $CD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Las rectas $MZ$ y $NX$ se cortan en el punto $K$. Sea $r$ la recta que une al centro de $\Gamma$ y a $K$. Demostrar que las siete rectas $AD$, $PY$, $BE$, $RX$, $r$, $CF$ Y $QZ$ tienen un punto en común.

[Gianni De Rico]

Un avance

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Sean $G=XX\cap YY$, $H=YY\cap ZZ$, $I=ZZ\cap XX$ y $J=QQ\cap RR$. Por Brianchon tenemos que $AD$, $BE$, $CF$ concurren. Por Selectivo IMO 2000 P4 tenemos que $PY$, $QZ$, $RX$ concurren. Por Tangentes y concurrencia (usando $PXYR$ como $ABCD$) tenemos que $PY$, $XR$, $MG$, $BE$ concurren. Por Tangentes y concurrencia (usando $PQYZ$ como $ABCD$) tenemos que $PY$, $QZ$, $AD$, $NH$ concurren. Y por Tangentes y concurrencia (usando $XQRZ$ como $ABCD$) tenemos que $XR$, $QZ$, $CF$, $IJ$ concurren.

De todo esto obtenemos que $AD$, $BE$, $CF$, $PY$, $QZ$, $RX$, $MG$, $NH$, $IJ$ concurren en un punto $L$.

Queda ver que $O$, $L$, $K$ están alineados.