Entrenamiento Cono 2018 P32

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Joacoini

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Entrenamiento Cono 2018 P32

Mensaje sin leer por Joacoini »

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo con lados no paralelos y tangentes a una circunferencia $\Gamma$ en los punto medios $P$, $Q$, $R$ de los lados $AB$, $CD$, $EF$ respectivamente. $\Gamma$ es tangente a $BC$, $DE$ y $FA$ en los puntos $X$, $Y$, $Z$ respectivamente. La recta $AB$ corta a las recta $EF$ y $CD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Las rectas $MZ$ y $NX$ se cortan en el punto $K$. Sea $r$ la recta que une al centro de $\Gamma$ y a $K$. Demostrar que las siete rectas $AD$, $PY$, $BE$, $RX$, $r$, $CF$ y $QZ$ tienen un punto en común.
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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P32

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Sean $G=XX\cap YY$, $H=YY\cap ZZ$, $I=ZZ\cap XX$ y $J=QQ\cap RR$. Por Brianchon tenemos que $AD$, $BE$, $CF$ concurren. Por Selectivo IMO 2000 P4 tenemos que $PY$, $QZ$, $RX$ concurren en el incentro de $XYZ$. Por Tangentes y concurrencia (usando $PXYR$ como $ABCD$) tenemos que $PY$, $XR$, $MG$, $BE$ concurren. Por Tangentes y concurrencia (usando $PQYZ$ como $ABCD$) tenemos que $PY$, $QZ$, $AD$, $NH$ concurren. Y por Tangentes y concurrencia (usando $XQRZ$ como $ABCD$) tenemos que $XR$, $QZ$, $CF$, $IJ$ concurren.

De todo esto obtenemos que $AD$, $BE$, $CF$, $PY$, $QZ$, $RX$, $MG$, $NH$, $IJ$ concurren en un punto $L$.

Ahora, por ser $XR$ bisectriz de $\angle YXZ$, tenemos que $IM\parallel RR\parallel YZ$. Análogamente, $MN\parallel ZX$ y $NI\parallel XY$, de donde $NIM$ y $XYZ$ son homotéticos, por lo que $NX$, $IY$, $MZ$ concurren, entonces $IY$ pasa por $K$. Como $\Gamma$ es el incírculo de $NIM$, tenemos que $O$ es el incentro de $NIM$, y como $L$ es el incentro de $XYZ$, resulta que $O$, $L$, $K$ están alineados. Entonces la recta $r$ también pasa por $L$, y con eso estamos.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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