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Entrenamiento Cono 2018 P40
Publicado: Sab 18 Ago, 2018 2:49 pm
por Joacoini
La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. En los segmentos $EF$, $FD$, $DE$ consideramos los puntos $M$, $N$, $P$ respectivamente tales que $BM+MC$, $CN+NA$, $AP+PB$ son mínimos.
- Probar que las rectas $AM$, $BN$, $CP$ son concurrentes.
- Probar que $DM$, $EN$, $FP$ son alturas del triángulo $DEF$.
Re: Entrenamiento Cono 2018 P40
Publicado: Sab 18 Ago, 2018 9:44 pm
por Gianni De Rico
- Spoiler: mostrar
- Veamos primero la parte b).
Por la desigualdad triangular en $DMB$ tenemos que $BM+BD\geqslant DM\Rightarrow BM\geqslant DM-BD$, por la desigualdad triangular en $DMC$ tenemos que $CM+CD\geqslant DM\Rightarrow CM\geqslant DM-CD$. Juntando estas dos cosas tenemos $BM+CM\geqslant 2DM-BC$, como $BC$ tiene longitud fija, para minimizar la suma tenemos que minimizar $DM$. Ahora, $DM$ es siempre mayor o igual que la distancia de $D$ a $EF$, por lo tanto queremos que $DM$ sea la distancia de $D$ a $EF$, es decir, que $DM$ sea perpendicular a $EF$. Análogamente $EN$ es perpendicular a $FD$ y $FP$ es perpendicular a $DE$. Luego, son alturas del triángulo $DEF$.
Ahora veamos la parte a)
Sabemos que $AD$, $BE$, $CF$ concurren en el punto de Gergonne de $ABC$ (se puede ver fácil con Ceva porque las tangentes desde un punto a una circunferencia tienen la misma longitud), y que $DM$, $EN$, $FP$ concurren en el ortocentro de $DEF$. Luego, por Ceva Doble tenemos que $AM$, $BN$, $CP$ concurren.