Mensaje sin leer
por Gianni De Rico » Dom 26 Ago, 2018 9:30 pm
- Spoiler: mostrar
- Por ser $I$ el incentro de $ABC$ tenemos $B\widehat IC=90°+\frac{1}{2}B\widehat AC$, y como $C\widehat AB=60°$ resulta, $B\widehat IC=120°=2\cdot 60°=2\cdot C\widehat AB=C\widehat OB$ de donde $BIOC$ es cíclico (notar que como $C\widehat AB<90°$ entonces $I$, $O$ y $A$ están en el mismo semiplano respecto de $BC$).
Como el circuncentro de $BOC$ está sobre la mediatriz de $BC$ y $O'$ es el reflejo de $O$ por el cirucuncentro de $BOC$, concluimos que $OO'$ es mediatriz de $BC$; pero $B\widehat {O'}C=180°-B\widehat OC=180°-120°=60°$, de donde $BO'C$ es equilátero.
Sean $\Gamma$ el circuncírculo de $ABC$ y $B'$ el punto medio del arco $AB$ de $\Gamma$ que no contiene a $C$. Luego, $B',I,C$ son colineales y $BB'=B'I$. Pero por arco capaz $B\widehat {B'}I=B\widehat {B'}C=B\widehat AC=60°$ y $B'IB$ es equilátero.
Entonces $BB'=BI$, $BC=BO'$ y $O'\widehat BI=O'\widehat BC+C\widehat BI=60°+C\widehat BI=I\widehat BB'+C\widehat BI=C\widehat BB'$; por lo que $\triangle BB'C\equiv \triangle BIO'$. Luego $IO'=B'C=B'I+IC=BI+IC$. Queda demostrado el problema.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]e^{i\pi}+1=0