Problema semana 20 primer nivel

[deku]

Leyendo en los archivos de los problemas semanales que me envían me topé con este de primer nivel. Aparentaba ser muy simple, pero tiene lo suyo, un problema de geometría muy lindo para pensarlo. Dice así:
Sea [math]ABC un triángulo, e [math]I el punto de intersección de las bisectrices. Si [math]AC + AI = BC y el [math]\angle ACB=51^\circ, calcular las medidas de los dos ángulos restantes [math]BAC y [math]ABC.

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No tengo tiempo de escribir todo el procedimiento para el resultado pero fue así:
Sabemos que la suma de los angulos BAC/2 + ABC/2 + 51°/2 = 90°, llamaremos a la mitad de BAC "alpha" y a la mitad de ABC "beta". entonces nos queda:
alpha=90°-25,5°-beta
alpha= 64,5°-beta

Después relacioné mediante trigonometría y establecí AI en función de AC, quedando:
[math]\\AI=\frac{AC}{cos(\alpha )+(\frac{sen(\alpha)}{tan(25,5°)})}
(apenas me estoy iniciando con el Latex)
Luego, procediendo del mismo modo, establecí BC en función de CI. Luego establecí CI en función de AI, y por último AI en función de AC, quedando todos los segmentos involucrados en la ecuación inicial (AC+AI=BC) en función de AC, que luego se simplifica por estar presente en todos los términos.
Finalmente me quedó entonces una única ecuación que involucra tanto a alpha como beta en la que la única otra variable era el primer ángulo (25,5°).
Reemplazo en la misma alpha en función de beta o viceversa y despejo uno de los ángulos.
Bueno al final me queda BAC=86° y ABC=43° , vaya sorpresa, uno es la mitad del otro.
Entonces me pregunté: ¿No me la habré complicado mucho y realmente hay un método netamente intuitivo y fácil de llegar a esa conclusión?
Bueno se los dejo a ustedes, espero que les agrade y me saquen la duda.

[Martín Vacas Vignolo]

Acá va una solución sin trigonometría. Normalmente la trigonometría "ensucia" los problemas.
Más tarde subo una foto

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Sea [math]D en la prolongación de [math]CA tal que [math]CD=CB, por lo tanto [math]AD=AI.
Sabemos que [math]\angle{BCI} = \angle{ACI} = 25,5°. Sea [math]\angle{CBI} = \angle{ABI} = y y [math]\angle{CAI} = \angle{BAI} = x.
Trivialmente se llega a que [math]x+y=64,5°.
Ahora en el triángulo IAD (que es isósceles, pues AI = AD) tenemos que el ángulo A mide [math]180°-x ya que es suplementario de [math]\angle{IAC}. Como es isósceles tenemos que [math]\angle{AID} = \angle{ADI} = \frac{x}{2} ya que los dos ángulos que faltan en el triángulo IAD tienen que ser iguales (sumados) al exterior de [math]\angle{IAD}.
Sea M el punto en el que la prolongación de CI corta a BD. Entonces CM es mediana/altura/bisectriz/mediatriz del triángulo BCD. Por propiedades de las mediatrices BI=ID, entonces [math]\angle{IBC} = \angle{IDC}, entonces tenemos [math]y=\frac{x}{2}, de donde [math]2.y=x.
Finalmente resolviendo el sistema donde tenemos [math]x+y=64,5 y [math]2y=x llegamos a [math]y=21,5 y [math]x=43. De donde [math]\angle{CBA} = 2.y = 43 y [math]\angle{CAB} = 2.x = 86

[Martín Vacas Vignolo]

Acá va la foto

[deku]

Acá va una solución sin trigonometría. Normalmente la trigonometría "ensucia" los problemas.
Más tarde subo una foto

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Sea [math]D en la prolongación de [math]CA tal que [math]CD=CB, por lo tanto [math]AD=AI.
Sabemos que [math]\angle{BCI} = \angle{ACI} = 25,5°. Sea [math]\angle{CBI} = \angle{ABI} = y y [math]\angle{CAI} = \angle{BAI} = x.
Trivialmente se llega a que [math]x+y=64,5°.
Ahora en el triángulo IAD (que es isósceles, pues AI = AD) tenemos que el ángulo A mide [math]180°-x ya que es suplementario de [math]\angle{IAC}. Como es isósceles tenemos que [math]\angle{AID} = \angle{ADI} = \frac{x}{2} ya que los dos ángulos que faltan en el triángulo IAD tienen que ser iguales (sumados) al exterior de [math]\angle{IAD}.
Sea M el punto en el que la prolongación de CI corta a BD. Entonces CM es mediana/altura/bisectriz/mediatriz del triángulo BCD. Por propiedades de las mediatrices BI=ID, entonces [math]\angle{IBC} = \angle{IDC}, entonces tenemos [math]y=\frac{x}{2}, de donde [math]2.y=x.
Finalmente resolviendo el sistema donde tenemos [math]x+y=64,5 y [math]2y=x llegamos a [math]y=21,5 y [math]x=43. De donde [math]\angle{CBA} = 2.y = 43 y [math]\angle{CAB} = 2.x = 86

Sí la verdad no sólo los ensucia sino que los acompleja más de lo debido a la hora de querer despejar ángulos. Debe tenerse mucho conocimiento de las propiedades para poder operar, y en muchos casos no se pueden despejar. Igual me gusta la trigonometría.
Disculpame, pero hay algo que no comprendí, ¿por qué AD es igual a AI?

[Martín Vacas Vignolo]

Claramente en el dibujo me quedó mal jaja, pero yo creo el punto D para que sean iguales AI y AD, de manera que el lado CD sea igual a CA + AD = CA + AI entonces el triángulo BCD me queda isósceles. Es crear ese punto estratégicamente

[amcandio]

che se q esto no va aca, pero martin, es re mentira tu firma xD por paridad no se cumple

[Martín Vacas Vignolo]

Jajaja ya sé, pero aparece en el capítulo de Los Simpsons

[AgustinChenna.]

Yo me la venía creyendo xd

[Martín Vacas Vignolo]

Igualmente es demasiado parecido, una compu te diría que son iguales casi

[deku]

La diferencia empieza a notarse a partir de la décima cifra significatica en la notación científica de la calculadora, a uno le parece que es casi lo mismo pero la diferencia está en el orden de los 10^26!!! o sea 100 millones de trillones, no es tan poco