Regional 2018 N1 P3

[Joacoini]

Sean $A$ y $B$ puntos en una circunferencia de centro $O$ tales que $A\widehat OB=90°$. La perpendicular a $AO$ trazada por su punto medio corta al arco menor $AB$ en $K$, y los segmentos $AB$ y $KO$ se cortan en $L$. Calcular la medida de los ángulos del triángulo $BKL$.

[AugustTierra]

A mi me dio 75° 75° y 30°

[Joacoini]

A mi me dio 75° 75° y 30°

Contanos como lo hiciste y trata de poner el botón de spoiler a la solución.

[AugustTierra]

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lo primero que hice fue hacer fue sacar los ángulos de OAB y OBA, que como son 1/4 de un cuadrado, sus ángulos eran 45° y 45° cada uno. Luego hice que el triangulo rectángulo KOM(m=punto medio de AO), sea un triangulo isósceles en KOA, con AK=OK. Después de esto, sabiendo que KO es el radio, AK=AO=OK, es decir es un triangulo equilátero, por lo cual KOB=90-AOK = 30°, y con esto ya podemos sacar el ángulo KLB que es igual a 180-(180-45-30). Después de hacer todo esto, haciendo KAO.2= 120, es decir que el lado AK forma parte de un hexágono regular, y como AK=KB:2 (no me acuerdo como lo saque), podemos decir que KB forma parte de un polígono regular de 12 lados, es decir que el ángulo KBA=(150(amplitud de un ángulo de un polígono regular de 12 lados)-90(por el ángulo del cuadrado)):2= 30°, y entonces con esto lo único que falta es el ángulo AKB=180-30-75=75°

espero que este bien

[maxiR]

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a mi me dio igual solo que en vez de usar lo de los hexagonos y dodecagonos , use angulo central y arco capaz

[Javi]

Sean $A$ y $B$ puntos en una circunferencia de centro $O$ tales que $A\widehat OB=90°$. La perpendicular a $AO$ trazada por su punto medio corta al arco menor $AB$ en $K$, y los segmentos $AB$ y $KO$ se cortan en $L$. Calcular la medida de los ángulos del triángulo $BKL$.

Aquiles Bailoyo ME PARECE LA SOLUCIÓN MÁS FÁCIL

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Yo lo que hice fue sacar los ángulos del isósceles OAB (OA=OB porque son el radio de la circunferencia) y me dio que OAˆB=ABˆO=45º.
Luego, al punto medio de AO lo nombré M y al punto que corta a BA y KM lo nombré P .
Como AO y KO son el radio de la circunferencia entonces son iguales y OM es la mitad de KO entonces el triangulo MKO es mitad de equilátero, por lo tanto MKˆO=30º y AOˆK=60º. Entonces KOˆB mide 30º porque BOˆA=90º.
y como KOB es isósceles (porque BO y KO son el radio) entonces OKˆB=KBˆO=75º.
como tenemos que OBˆK=75º y OBˆA=45º entonces KBˆL=30º y por lo tanto KLˆB=75º

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/26qg8U5mElE