Regional 2018 N2 P3

[Joacoini]

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo es isósceles con $\widehat C=90°$. Consideremos $P$ en la recta $BC$, con $B$ entre $C$ y $P$, y $Q$ en la recta $AB$, con $A$ entre $B$ y $Q$, tales que $BP=AQ$. Sea $R$ en la recta $AC$, con $C$ entre $A$ y $R$, tal que $P\widehat QR=45°$. Determinar la medida del ángulo $P\widehat RQ$.

[mmnn]

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me dio 67°30'

[DiegoLedesma]

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Por ser $\bigtriangleup$ $ABC$ isósceles ($AC=BC$), se tiene que $C\hat{A}B=C\hat{B}A=45º$, luego por ser respectivamente adyacentes a éstos angulos: $Q\hat{A}R=Q\hat{B}P=135º$
Sea $A\hat{Q}R=\alpha$ $\Rightarrow$ $B\hat{Q}P=45º-\alpha$. Luego $A\hat{Q}R=B\hat{P}Q$ y $B\hat{Q}P=A\hat{R}Q$.
Además, $AP=BP$ $\Rightarrow$ $\bigtriangleup$ $AQR$=$\bigtriangleup$ $BPQ$. Luego, se tiene que $QP=QR$, y por ser $P\hat{Q}R=45º$, se tiene que $P\hat{R}Q=135º/2=67,5º$

[Joacoini]

Me dio 67°30'

Contanos como lo pensaste, y cuando subas una solución trata apretar el botón que dice spoiler.

[BrunoDS]

Otra:

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Sea $S$ en la prolongación de $CA$ tal que $AS=AQ$.

Luego, como $BC=AC$, tenemos que $PC=SC$, por lo que $\angle PSC=45°=\angle SPC$. Luego, como $\angle PQR=45°=\angle PSR$ tenemos que $PSQR$ es cíclico. Además, como $SA=AQ$, tenemos que $\angle ASQ=\angle AQS=\frac{180°-45°}{2}=67,5°$. Por lo que: $\angle PSQ=45°+67,5°=112,5°$.

Como $PSQR$ es cíclico, tenemos que $\angle PRQ=180°-\angle PSQ=180°-112,5°=67,5°$

[Sf7]

El problema 1 de novel 2 cuanto les dio? Gracias

[mmnn]

El problema 1 de novel 2 cuanto les dio? Gracias

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/d2z_wOHCno0