Regional 2018 N3 P3

[Joacoini]

Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $2$. Sea $E$ el punto medio del lado $CD$ y consideramos $F$ en el lado $BC$ tal que $D\widehat AE=E\widehat AF$. Calcular la longitud del segmento $CF$.

[martina cotti]

a mi me dio 0,5

[Monazo]

Cualquier simitud es pura coincidencia

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Nacional 2015 - Nivel 2 - Problema 2

https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=10&t=3610

[Gianni De Rico]

Como todo Regional de Nivel 3 se podía matar con trigonometría

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Pero de todas formas vamos con la solución linda:
Sea $G$ el pie de la perpendicular desde $E$ a $AF$, luego $\angle GAE=\angle FAE=\angle DAE$, $\angle EGA=90°=\angle EDA$ y $AE=AE$. Por lo tanto $\triangle EGA\equiv \triangle EDA\Rightarrow EG=ED=EC$. Notemos que $ADEG$ y $ECFG$ son cíclicos pues $\angle EDA=\angle EGA=\angle ECF=\angle EGF=90°$. Poniendo $\angle GAE=\alpha$ tenemos $\angle GAD=\angle GAE+\angle EAD=\alpha +\alpha =2\alpha$, por lo que $\angle CEG=2\alpha\Rightarrow \angle CFG=180°-2\alpha$. Pero como $EC=EG$ entonces $FE$ es bisectriz de $\angle CFG\Rightarrow \angle CFE=90°-\alpha \Rightarrow \angle FEC=\alpha$, por lo que $\triangle CEF\simeq \triangle DA\Rightarrow CF=\frac{CE\cdot ED}{AD}$. Como $AD=2$, tenemos $CE=ED=1$, y por lo tanto queda demostrado que $CF=\frac{1}{2}$.

Regional 2018 N3 P3.png

[emaabitante]

Yo usé trigonometría porque no llegaba con el tiempo... aproximando el valor de los ángulos (usé sólo grados y minutos) me terminó dando 0,54 el segmento CF, me lo contarán como bien igual?

[julianferres_]

Sin trigonometría

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Trazo $BE$, entonces por simetria tengo que $\angle{EAD}=\angle{EBC}$

Pero entonces $\angle{EAF}=\angle{EBC}=\angle{EBF}$ entonces el cuadrilatero $ABFE$ es ciclico y $\angle{AEF}=180-\angle{ABF}=90$

Pero entonces como los triangulos $ADE$ y $AEF$ tienen los mismos angulos, son semejantes y $2=\frac{AD}{DE}=\frac{AE}{EF}$

Ademas por pitagoras $AE = \sqrt{AD^2+DE^2} = \sqrt{5}$, y por la semejanza $EF = \frac{AE}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Finalmente por Pitagoras en el triangulo rectangulo $ECF$ : $CF=\sqrt{EF^2-EC^2}==\sqrt{( \frac{\sqrt{5}}{2})^2-1^2}=\frac{1}{2}$

[julianferres_]

Aun mejor.

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Prolongamos $EF$ hasta que corte a $AB$ en $G$.

Es claro que los triangulos $DEG$ y $ECF$ son congruentes, esto sucede por tener los lados paralelos y un lado correspondiente igual $(DE=EC)$.

Pero entonces en el triangulo $AGF$, tenemos que como $GE=EF$, la bisectriz de $GAF$ es a su vez mediana, por lo tanto $AE \perp FG$,

Por angulos llegamos a que $\angle{FEC}=180-90-\angle{AED}=90-\angle{AED}=\angle{EAD}$ , luego $EFC$ es semejante a $ADE$ y respeta su relación entre lados correspondientes, por lo tanto $\frac{FC}{CE}=\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$

Como $CE=1$, entonces $\boxed{FC=\frac{1}{2}}$.

[Gianni De Rico]

Sin trigonometría

Leíste mi solución? Porque el comentario antes del spoiler era un chiste que surgió en la resolución. Uso solamente cosas lindas como cíclicos y semejanza para resolver el problema.

[Gianni De Rico]

A pedido de @emaabitante subo una solución completa con trigonometría

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Como $E$ es punto medio y $CD=2$ entonces $DE=CE=1$, luego $\angle EAF=\angle DAE=\arctan \left (\frac{1}{2}\right )$. Como los ángulos de un cuadrado miden $90°$, resulta $\angle BAF=90°-\angle EAF-\angle DAE=90°-2\cdot \arctan \left (\frac{1}{2}\right )$. Ahora, $\tan \angle BAF=\frac{BF}{BA}=\frac{BF}{2}$, por lo tanto, $BF=2\cdot \tan \left (90°-2\arctan \left (\frac{1}{2}\right )\right )=\frac{3}{2}$, finalmente, $CF=BC-BF=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

[RESCATEMATEMATICO]

https://youtu.be/43i0vXcd3cM