Se muestran dos hexágonos regulares, uno dentro del otro. Si los puntos $A$, $B$ y $C$ pertenecen a una misma recta y el perímetro del hexágono mayor es $120\text{ cm}$, determine el perímetro del hexágono menor (en $\text{cm}$).
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Sea $J$ el centro del hexágono mayor. Como el perímetro de $ADEFCH$ es $120$, entonces (como el centro del hexágono lo divide en triángulos equiláteros) $HE=HJ+JE=2JH=2AH\Rightarrow AH=\frac{1}{2}EH$, como $LE\parallel DE$ y $EG\parallel EF$, entonces todos los lados de $ADEFCH$ y $KLEGIB$ son paralelos, en particular, los hexágonos son homotéticos de centro $E$, por lo que $E$, $B$ y $H$ están alineados. Ahora, $\angle ADE=120^\circ =\angle EFC$ y $AD=DE=EF=FC$ por lo que $\triangle ADE\equiv \triangle EFC\Rightarrow AE=EC$, y como $AH=HC$ resulta que $EH$ es mediatriz de $AC\Rightarrow HB\perp AB$. Como $\angle AHC=120^\circ$ y $AH=HC$ tenemos $\angle HAB=\angle HAC=30^\circ$, de donde $\triangle HAB$ es medio equilátero y $HB=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{4}EH\Rightarrow EB=\frac{3}{4}EH$, por lo que la razón de la homotecia de centro $E$ que lleva $ADEFCH$ a $KLEIGB$ es $\frac{3}{4}$, y esa es la razón entre sus perímetros. Como el perímetro de $ADEFCH$ es $120$, el perímetro de $KLEIGB$ es $\frac{3}{4}\cdot 120=90$.
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