Nacional 2018 N3 P6

[Gianni De Rico]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una circunferencia interior del $ABCD$ es tangente a las rectas $AB$ y $AD$ y corta a la diagonal $BD$ en $E$ y $F$. Demostrar que existe una circunferencia que pasa por $E$ y $F$ y es tangente a las rectas $CB$ y $CD$.

[MateoCV]

Mi solución:
https://www.youtube.com/watch?v=wr_OtpkU9zY

[Peznerd]

Mi solución:
https://www.youtube.com/watch?v=wr_OtpkU9zY

Hola Mate, me alegra que postees una solución ya que nadie más propuso una y también me alegro cuando me acuerdo de tu cara de feliz cumpleaños cuando saliste campeón

Me marean tantas prolongaciones ¿Las elegiste arbitrariamente o supusiste que de primeras te ayudarían a resolver el problema? Porque se podría estar horas eligiendo coincidencias sin llegar a mucho. Capaz que de tanto probar terminás probando un teorema conocido pero no el Problema en sí

[Sandy]

Spoiler: mostrar

Sean $H$ y $G$ los contactos de la circunferencia con $AD$ y $AB$ respectivamente.
Sea $J$ sobre $CD$, con $D$ entre $C$ y $J$, tal que $DJ=DH$.
Sea $K$ sobre $CB$, con $B$ entre $C$ y $K$, tal que $BK=BG$.

$CK=CB+BK=CB+BG=AD+(AB-AG)=AD+(DC-AH)=(AD-AH)+DC=DH+DC=DJ$, luego debe existir una circunferencia tangente a $BC$ y $CD$ en $K$ y $J$ respectivamente (es fácil de ver con tramposética tomando la circunferencia que pase por $K$ con centro en la intersección de la perpendicular a $BC$ por $K$ y la bisectriz de $BCD$).
La potencia de $B$ a esta circunferencia será $BK^2=BG^2$, que es la potencia respecto a la circunferencia original, luego $B$ está en el eje radical entre ambas circunferencias.
La potencia de $D$ a esta circunferencia será $DJ^2=DH^2$, que es la potencia respecto a la circunferencia original, luego $D$ está en el eje radical entre ambas circunferencias.
Luego el eje radical es $BD$, es decir $EF$. Como la potencia de $E$ y $F$ con respecto a la circunferencia original es $0$, también deben serlo sus potencias respecto a la circunferencia tangente a $BC$ y $CD$, luego deben estar sobre esta circunferencia también.

[Sandy]

Mi solución:
https://www.youtube.com/watch?v=wr_OtpkU9zY

Hola Mate, me alegra que postees una solución ya que nadie más propuso una y también me alegro cuando me acuerdo de tu cara de feliz cumpleaños cuando saliste campeón

Me marean tantas prolongaciones ¿Las elegiste arbitrariamente o supusiste que de primeras te ayudarían a resolver el problema? Porque se podría estar horas eligiendo coincidencias sin llegar a mucho. Capaz que de tanto probar terminás probando un teorema conocido pero no el Problema en sí

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Bueno acabo de ver el video y, aunque no estoy en su cabeza, puedo imaginarme el porqué de esas prolongaciones. Si suponés que esa circunferencia existe, como corta a la otra en $E,F$, ése será su eje radical. Luego $B,D$ (ambos en $EF$) tienen la misma potencia respecto a ambas, luego la tangente desde $B$ hacia ambas circunferencias debe ser igual, por lo que la circunferencia que queremos debería pasar por el punto de la prolongación. Lo mismo con $D$ .