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Segmentos Iguales.png

Sean $\Gamma$ el circuncírculo de $POQ$ y $D$ la segunda intersección de $\Gamma$ y $\Omega$. Entonces $OD=OQ\Rightarrow \angle DPO=\angle OPQ=\angle OPM$. Sea $D'$ el reflejo de $M$ por $OP$, luego $D'\in \Omega$ y $\angle D'PO=\angle OPM=\angle DPO$ por lo que $D'=D$
Sea $I$ el punto medio del arco $DM$ de $\Omega$ que no contiene a $A$, luego $O,I,P$ son colineales y $AI$ es bisectriz de $\angle DAM$. Sea $R'$ la intersección de la paralela a $AM$ por $P$ con la recta $AD$, luego $\angle DRP=\angle DAM=2\angle DAI=\angle DOI=\angle DOP$ por lo que $R'\in \Gamma$ y como $R'\neq P$ resulta $R'=R$, por lo que $A,R,D$ son colineales.
Ahora $\angle AQR+\angle RAQ=\angle DRQ=\angle DOQ=2\angle AQR$ por lo que $\angle RAQ=\angle AQR$, es decir, $RA=RQ$

Gianni De Rico escribió: ↑Jue 15 Nov, 2018 2:19 pm $ \angle DPO=\angle OPQ=\angle OPM$.

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Está bien tu comentario, de hecho (como en muchos problemas de geometría) hay ángulos que cambian su valor entre $\alpha$ y $180^\circ -\alpha$ dependiendo del trazado, que es lo que pasa acá. Esto puede arreglarse usando ángulos dirigidos, pero a decir verdad hace las soluciones más difíciles de comprender para alguien que no está familiarizado con su uso. En este caso en particular, sigue valiendo mi afirmación $D=D'$, pues (con tu trazado)\begin{align*}\angle DPO & =180^\circ -\angle OQD \\
& =180^\circ -\angle ODQ \\
& =180^\circ -\angle OPQ \\
& =\angle MPO \\
& =\angle D'PO.
\end{align*}

Gianni De Rico escribió: ↑Sab 24 Nov, 2018 4:57 pm ángulos dirigidos

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Pequeño lema.
Sea $\Omega$ una circunferencia con centro $O$. Sea $\Gamma$ una circunferencia que contiene a $O$ y corta a $\Omega$ en $A, B$. Si una recta por $A$ corta a $\Gamma$ y $\Omega$ en $C$ y $D$, respectivamente, entonces $CD=CB$.

Como $OA=OB$ es $\angle OCA = \angle OAB$. (1)
Sea $X=OC\cap BD$, luego $\angle DCX = \angle OCA$ por opuestos por el vertice y $\angle BCX = \angle OAB$ por angulo exterior y angulo interior (y opuesto) en el ciclico $OABC$, luego por (1) es $\angle DCX = \angle BCX$ y como $OX$ es una recta diametral es facil ver que $CD=CB$.

oca.gif

Problema principal.
Sean $\Gamma$ y $D$ la circunscrita a $OPQ$ y la otra interseccion de $\Gamma$ con $\Omega$, luego si $Z= RD\cap PQ$ es $\Delta DZQ\sim \Delta PZR$. Sea $A'$ la otra interseccion de $RD$ con $\Omega$ , luego tenemos que $\Delta DZQ\sim \Delta MZA'$ si igualamos con la anterior semejanza nos queda que $\Delta PZR\sim \Delta MZA'$.
Si vemos que en esta semejanza estan $Z,P,M$ y por otro lado $Z,R,A'$ alineados deducimos que $PR\parallel A'M$ pero por construccion sabemos que $PR\parallel AM$, luego $A'=A$ y entonces $A,R,D$ son colineales, luego usando el "pequeño lema" concluimos que $RA=RQ$.