Rioplatense 2018 - N2 P3

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:56 am

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno, $\omega$ su circunferencia inscrita y $\omega '$ la circunferencia exinscrita relativa al vértice $A$. Las circunferencias $\omega$ y $\omega '$ son tangentes a $BC$ en $P$ y $P'$ respectivamente. Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $B$ y $C$ y es tangente a $\omega$ en $Q$, y $\Gamma '$ la circunferencia que pasa por $B$ y $C$ y es tangente a $\omega '$ en $Q'$. Las rectas $PQ$ y $P'Q'$ se cortan en $N$. Demostrar que $AN$ es perpendicular a $BC$.

Aclaración: La circunferencia $\omega '$ es tangente al lado $BC$ y a las prolongaciones de los lados $AB$ y $AC$.
[math]

jujumas

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Re: Rioplatense 2018 - N2 P3

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 06 Dic, 2018 2:02 pm

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Sea $N$ el punto medio de la altura $AD$ de $ABC$. Si probamos que $P$, $N$, $Q$, y $P_1$, $N$, $Q_1$ son colineales, terminamos. Lo que vamos a hacer entonces es marcar el punto $N$, extender $PN$ y $P_1N$ para que vuelvan a cortar a las circunferencias correspondientes en $Q$ y $Q_1$, y vamos a demostrar que $BQC$ y $BQ_1C$ tienen circunscritas tangentes a dichas circunferencias.

$I$ y $I_A$ son los centros de las circunferencias. $E$ y $F$ son puntos de contacto del incírculo, $E_1$ y $F_1$ son puntos de contacto del excírculo, $EF$ y $E_1F_1$ vuelven a cortar a la recta $BC$ en $X$ e $Y$ respectívamente. $M$ y $M_1$ son puntos medios de $PX$ y $P_1Y$ respectívamente. $T$ es el punto donde $AP$ vuelve a cortar a la inscrita y $T_1$ donde $AP_1$ vuelve a cortar a la exinscrita.


Lema 1: $XI$ y $AP$ son perpendiculares. $YI_A$ y $AP_1$ son perpendiculares.

Demostración: Como $AF$, $AE$ son tangentes al incírculo, $FTEP$ es un cuadrilátero armónico. Luego, las tangentes al incírculo por $T$ y $P$ se cortan sobre $EF$, por lo que $XT$ es tangente al cuadrilátero y $XI$ es perpendicular a $TP$, y por lo tanto a $AP$.

Análogamente, $E_1P_1F_1T_1$ es armónico y $YT_1$ es tangente a la exinscrita. Luego, $YI_A$ y $AP_1$ son perpendiculares.


Lema 2: $MQ$ y $M_1Q_1$ son tangentes al incírculo y exincírculo respectívamente.

Demostración: Como $XI$ y $AP$ son perpendiculares, es facil ver que $ADP$ y $XPI$ son semejantes. Luego, como $M$ y $N$ son puntos medios de $AD$ y $XP$ respectívamente, $MPI$ y $NDP$ son semejantes, de donde es facil ver que $QP$ y $MI$ son perpendiculares. Luego, $MI$ es mediatriz de $PQ$ y $MP=MQ$, de donde $MQ$ es tangente ya que $MP$ también lo es.

Análogamente, $P_1I_AY$ y $DP_1A$ son semejantes, de donde $M_1YI_A$ y $NAP_1$ son semejantes y $AP_1$ es perpendicular a $I_AY$, de donde $M_1P_1=M_1Q_1$ y estamos.


Lema 3: Las circunscritas de $BQC$ y $BQ_1C$ son tangentes al incírculo y exincírculo respectívamente.

Demostración: Como $MQ=MP=MX$, $XQP$ es un triángulo rectángulo en $Q$. Como $P$ y $X$ pertenecen a la circunferencia de Apolonio con respecto a $B$ y $C$, $Q$ también pertenece a ella y concluímos que $QP$ es bisectriz de $\angle BQC$. Luego, $QP$ corta a la circunscrita de $BQC$ en el punto medio del arco menor $BC$, y marcando el circuncentro $O$ de $BQC$ podemos ver facilmente que $Q$, $I$, $O$ son coliniales.

De la misma forma $Q_1P_1$ es bisectriz de $\angle BQ_1C$ y tenemos la tangencia pedida.
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