Rioplatense 2018 - N3 P2

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 8:03 am

Sea $P$ un punto exterior a una circunferencia $\Gamma$, y sea $PA$ una de las tangentes desde $P$ a $\Gamma$. La recta $l$ pasa por $P$ e interseca a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $P$ y $C$. Sea $D$ el simétrico de $B$ con respecto a $P$. Sean $\omega _1$ y $\omega _2$ las circunferencias circunscritas a los triángulos $DAC$ y $PAB$ respectivamente; $\omega _1$ y $\omega _2$ se intersecan en $E\neq A$. La recta $EB$ corta nuevamente a $\omega _1$ en $F$. Demostrar que $CF=AB$.
[math]

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Re: Rioplatense 2018 - N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 07 Dic, 2018 5:11 am

Spoiler: mostrar
Sea $G$ el segundo punto de intersección de $AP$ con $\omega _1$, luego $PA^2=\text{Pot}(P,\Gamma )=PB\cdot PC=PD\cdot PC=\text{Pot}(P,\omega _1)=PA\cdot PG$ por lo que $PA=PG$, como sus diagonales se cortan en su punto medio, $ABGD$ es un paralelogramo $\Rightarrow AB=GD$(*)
Ahora, $\angle DPA=180°-\angle BPA=180°-\angle BEA=180°-\angle FEA=\angle FCA$ y $\angle AFC=\angle ADC=\angle ADP$, por lo tanto $\triangle DPA\simeq \triangle FCA\Rightarrow \angle PAD=\angle CAF$. Pero $\angle PAD=\angle GAD=\angle GFD$ y $\angle CAF=\angle CDF$, entonces $\angle GFD=\angle CDF$, por lo tanto las cuerdas $GD$ y $CF$ subtienden el mismo ángulo en $\omega _1$, entonces $CF=GD$ (**)
De (*) y (**) resulta $CF=AB$
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[math]

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