Problema 2 Primer Nivel Olimpíada de Mayo 2003

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Turko Arias

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Problema 2 Primer Nivel Olimpíada de Mayo 2003

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mar 11 Dic, 2018 10:15 am

El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sobre el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP=BP$ y sobre el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero.
Si el área del triángulo $ABC$ es $27$, calcula el área del triángulo $PQR$.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 2 Primer Nivel Olimpíada de Mayo 2003

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 11 Dic, 2018 11:16 am

Hermoso problema, creo que lo expliqué con suficiente detalle
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Primero que nada, notemos que como $BP=PC$, entonces $P$ está en la mediatriz de $BC$, pero como la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a este y que pasa por su punto medio, y $R$ es el punto medio de $BC$, entonces $PR$ es perpendicular a $BC$, es decir, $\angle PRB=\angle PRC=90°$. Ahora, como $Q$ está en el segmento $BP$, tenemos que $\angle BPR=\angle QPR=60°$ porque $\triangle QPR$ es equilátero. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de $180°$, entonces $\angle RBP=180°-\angle BPR-\angle PRB=180°-60°-90°=30°$, y como $90°=\angle PRB=\angle PRQ+\angle QRB=60°+\angle QRB$ tenemos $\angle QRB=30°=\angle RBP=\angle RBQ$, por lo que $BQ=QR=QP=PR$. (*)
Notemos ahora que $\angle RBP=\angle CBA$, por lo que $\angle CBA=30°$, y como $\angle BAC=90°$, entonces $\angle ACB=180°-\angle CBA-\angle BAC=180°-30°-90°=60°$, entonces, si marcamos un punto $T$ sobre el segmento $BC$ de forma que $\triangle ATC$ sea equilátero, tenemos que $\angle TAC=60°$ y $90°=\angle BAC=\angle BAT+\angle TAC=\angle BAT+60°\Rightarrow \angle BAT=30°=\angle CBA=\angle TBA$, por lo que $BT=TA=TC$, entonces $T$ es el punto medio de $BC$, pero $R$ es el punto medio de $BC$ ¡Entonces $T$ y $R$ son el mismo punto! Por lo tanto, $\triangle ARC$ es equilátero. Luego, $\angle PAR=\angle BAR=\angle BAT=30°$, y $90°=\angle PRC=\angle PRA+\angle ARC=\angle PRA+60°\Rightarrow \angle PRA=30°=\angle PAR$, entonces $PR=PA$. (**)
Juntando (*) y (**) tenemos $BQ=QP=PA$, por lo tanto $AB=AP+PQ+QB=3PQ\Rightarrow PQ=\frac{1}{3}AB$.
Marcamos $M$ como el punto medio de $PQ$, entonces $PM=QM$, y $AM=AP+PM=BQ+QM=BM$, por lo que $M$ es el punto medio de $AB$, entonces $MR$ es la base media correspondiente a $AC$ en $\triangle ABC$, es decir que $MR\parallel AC$, entonces tenemos $\angle BMR=\angle BAC=90°$, por lo que $MR$ es altura de $\triangle PQR$. Además, por ser base media resulta $MR=\frac{1}{2}AC$.
Ahora, si $(PQR)$ es el área de $\triangle PQR$, y $(ABC)$ es el área de $\triangle ABC$, tenemos $(PQR)=\frac{PQ\cdot MR}{2}=\frac{\frac{1}{3}AB\cdot \frac{1}{2}AC}{2}=\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{1}{6}(ABC)=\frac{27}{6}=4,5$. Entonces el área del triángulo $PQR$ es $4,5$.
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[math]

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1000i Elizalde
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Re: Problema 2 Primer Nivel Olimpíada de Mayo 2003

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Mar 11 Dic, 2018 10:38 pm

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Como $AR$ es la mediana correspondiente a la hipotenusa de $ABC$, $AR=BR=CR$, y los triángulos $ARB$ y $ARC$ tienen el mismo área ya que tienen la misma base y misma altura $(ARB)=13,5$. Como $BP=CP$, $P$ pertenece a la mediatriz de $BC$ por lo que $PR$ es perpendicular a $BC$. Ya que $PQR$ es equilátero todos sus ángulos miden $60º$, ya que $B\hat{R}P=90º$ y $P\hat{R}Q=60º$, $B\hat{R}Q=30º$. $P\widehat{Q}R+B\widehat{Q}R=180º$ y $P\widehat{Q}R=60º$, por lo tanto $B\widehat{Q}R=120º$.Como la suma de los ángulo interiores de un triángulo es $180º$, $Q\widehat{B}R=30º$. Ya que los ángulos $B\widehat{R}Q$ y $Q\widehat{B}R$ son iguales, podemos afirmar que $PR=PQ=QR=BQ$. Como el triángulo $ABR$ es isósceles, con $AR=BR$, los ángulos $A\widehat{B}R$ y $B\widehat{A}R$ son iguales. Como $A\widehat{P}+Q\widehat{P}R=180º$ y $Q\widehat{P}R=60º$, el ángulo $A\widehat{P}R=120º$. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180º$ y $A\widehat{P}R=120º$ y $P\widehat{A}R=30º$, $A\widehat{R}P=30º$, y afirmamos que los lados $AP$ y $PR$ son iguales ya que sos ángulos lo son. Ahora podemos decir que los triángulos $APR$, $PQR$ y $BQR$ tienen el mismo área ya que tienen la misma base y misma altura. Entonces lo que hacemos es dividir el área de $ABR$ en tres y lo que nos da es el área de cada triangulito es $4,5=(PQC)$. :mrgreen:
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