Rioplatense 2018 - N1 P5

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Matías V5

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Rioplatense 2018 - N1 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 12 Dic, 2018 2:37 pm

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Se construye el cuadrado $BDXY$ que no tiene puntos interiores en común con el triángulo $ABD$. Se construye el cuadrado $ACZW$ que no tiene puntos interiores en común con el triángulo $ADC$.
Sean $P$ y $Q$ los centros de los cuadrados $BDXY$ y $ACZW$ respectivamente.
Demostrar que $AP=DQ$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2018 - N1 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 12 Dic, 2018 5:18 pm

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Como $P$ es el centro del cuadrado $BDXY$ tenemos $\angle PBD=45°=\angle PDB$, entonces $\angle BPD=90°$ y $PB=PD$. Si $E$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ tenemos que $E$ es el punto medio de $AC$ y $BD$ por ser $ABCD$ un paralelogramo, entonces $PE$ es mediana en $\triangle PBD$, y como $PB=PD$, resulta que $PE$ es altura y bisectriz de $\angle BPD$. Luego $\angle BPE=\frac{90°}{2}=45°=\angle PBD=\angle PBE$, es decir que $BE=PE$, y como $E$ es punto medio tenemos $BE=DE$. De todo esto nos quedamos con $EB=ED=EP$ y $\angle DEP=90°$. De la misma manera sale que $EA=EC=EQ$ y $\angle AEQ=90°$. Entonces podemos olvidarnos de los puntos $W,X,Y,Z$.
Ahora, $\angle DEQ=\angle DEA+\angle AEQ=\angle DEA+90°=\angle DEA+\angle DEP=\angle PEA$, también $DE=PE$ y $QE=AE$. Por tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes, tenemos $\triangle DEQ\equiv \triangle PEA$, por lo tanto $AP=DQ$.
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[math]

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