Rioplatense 2018 - NA P4

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Matías V5

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Rioplatense 2018 - NA P4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 12 Dic, 2018 2:51 pm

El pentágono $ABCDE$, de lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ y $EA$, cumple las siguientes condiciones:
  • $A \widehat B C = B \widehat C D = C \widehat{D} E = 90^{\circ}$.
  • $CD$ es mayor que $AB$.
  • $AB=28, \enspace BC=15, \enspace DE=10 \enspace$ y $\enspace EA = 13$.
Calcular el área del pentágono.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2018 - NA P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 12 Dic, 2018 4:07 pm

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Si continuamos la recta $DE$ hasta que corte a la recta $AB$ en el punto $F$ tenemos que $\angle CDF=\angle CDE=90°$, $\angle FBC=\angle ABC=90°$ y $\angle EFA=\angle DFB$, como la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es $360°$ tenemos que en $FBCD$ se cumple $360°=\angle DFB+\angle FBC+\angle BCD+\angle CDF=\angle DFB+90°+90°+90°\Rightarrow \angle DFB=90°$, por lo que $FBCD$ es un rectángulo. Entonces $DF=BC=15$ y $BF=CD$, como $DF=15>10=DE$, tenemos que $E$ está en el segmento $DF$, por lo que $EF=15-10=5$, de la misma forma, como $BF=CD>AB$ tenemos que $A$ está en el segmento $BF$, entonces $BF=AF+AB$.
Como $\angle EFA=\angle DFB=90°$, podemos usar el Teorema de Pitágoras, y nos queda $EF^2+FA^2=EA^2\Rightarrow FA=\sqrt{EA^2-EF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Por lo tanto $BF=AF+AB=12+28=40$.
Ahora, el área de $ABCDE$ es el área de $FBCD$ menos el área de $EFA$, y si escribimos el área de una figura como su nombre entre paréntesis, tenemos $(ABCDE)=(FBCD)-(EFA)=FB\cdot BC-\frac{1}{2}EF\cdot FA=40\cdot 15-\frac{1}{2}5\cdot 12=600-30=570$
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[math]

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