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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 13 Dic, 2018 12:11 pm

Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, y sea $BC$ un diámetro de $\Gamma$. El punto $A$ de $\Gamma$ es tal que $\angle AOC>60°$. La cuerda $EF$ de $\Gamma$ es mediatriz del segmento $AO$. Sea $D$ el punto medio del menor arco $AB$ de $\Gamma$, la recta paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en el punto $J$. Demostrar que $J$ es el incentro del triángulo $CEF$.
[math]

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Re: IMO 2002 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 13 Dic, 2018 2:30 pm

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Como $EF$ es mediatriz de $AO$ y $O$ es el centro de $\Gamma$ tenemos $AF=FO=OE=EA=OA$ por lo que $AFOE$ es un rombo y $\triangle AOF$ y $\triangle AOE$ son equiláteros, por lo que $\angle EAF=120°$. Como $A$ es el punto medio del arco $EF$ que no contiene a $C$ (pues $\angle AOC>60°$) resulta que $CA$ es bisectriz de $\angle ECF$. Como $D$ es el punto medio del menor arco $AB$, tenemos que $OD$ es mediatriz de $AB\Rightarrow OD\perp AB$, y como $BC$ es diámetro tenemos $AC\perp AB$, luego $OD\parallel AC\parallel AJ$, y como $AD\parallel JO$ resulta que $DOJA$ es un paralelogramo. Sea $G$ el punto medio de $AO$, como $AFOE$ es un rombo entonces $G$ es el punto medio de $EF$, y como $DOJA$ es un paralelogramo entonces $G$ es el punto medio de $DJ$, por lo tanto $EF$ y $DJ$ se bisecan mutuamente y $DFJE$ es un paralelogramo. Luego, $\angle FJE=\angle EDF=\angle EAF=120°=90°+30°=90°+\frac{1}{2}60°=90°+\frac{1}{2}(180°-120°)=90°+\frac{1}{2}(180°-\angle EAF)=90°+\frac{1}{2}\angle ECF$. Sea $I$ el incentro de $\triangle ECF$, entonces $\angle EIF=90°+\frac{1}{2}\angle ECF=\angle EJF$ por lo que $EJIF$ es cíclico, si $I_C$ es el $C$-excentro de $\triangle ECF$ tenemos que $EJIFI_C$ es cíclico, $I_C,J,I$ están sobre la bisectriz de $\angle ECF$ y $J,I$ están en el arco $EF$ que no contiene a $I_C$, por lo tanto $I=J$ y $J$ es el incentro de $\triangle CEF$.
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[math]

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