ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P7

Nando

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ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P7

Mensaje sin leer por Nando » Mié 13 Mar, 2019 11:00 pm

En la figura mostrada, $ABCD$ y $OMNP$ son cuadrados, donde $O$ es el centro del cuadrado
$ABCD$. Si $AG = 36$ y $DE = 16$, calcule $FC$.
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DiegoLedesma
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Re: ONEM 2018 - Fase 3 - Nivel 3 - P7

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Jue 14 Mar, 2019 1:33 am

Spoiler: mostrar
Sean $T$ y $Q$ ($T$ sobre $AD$ y $Q$ sobre $DC$) tal que $OT$ $\perp$ $AD$ y $OQ$ $\perp$ $DC$. Siendo $L$ el lado del cuadrado $ABCD$ y $AG=36$, se tiene que $TG=36-\frac{L}{2}=QF$ (pues $\hat{TOG}=\hat{QOF}=\alpha$)
Además: $EQ+QF=\frac{L}{2}-16+36-\frac{L}{2}=20$ $\Rightarrow$ $GD=FC$. En $\bigtriangleup$ $FOG$ (triángulo rectángulo isósceles), $FG=\sqrt{2}OF$. Sea $R$ el punto de intersección entre los segmentos $ON$ y $FG$. Luego, $OR$ es altura respecto de $FG$. Véase que $\bigtriangleup$ $EFR$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $GFD$ $\Rightarrow$ $\frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}OF}=\frac{\sqrt{2}OF}{36}$ $\Rightarrow$ $ OF^{2}=720$. Finalmente, aplicando Pitágoras en $\bigtriangleup$ $GFD$: $GD=FC=\sqrt{2.720-36^{2}}=12.$

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