Primer Pretorneo 2019 NM P2

Matías

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Primer Pretorneo 2019 NM P2

Mensaje sin leer por Matías » Mié 01 May, 2019 7:26 pm

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Una circunferencia que pasa por $B$ y por el punto medio de la hipotenusa $AC$ corta a los otros dos lados en $M$ y $N$. Si $AC=2MN$, demostrar que $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados.
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Gianni De Rico

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Re: Primer Pretorneo 2019 NM P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 01 May, 2019 8:14 pm

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Sea $O$ el punto medio de $AC$. Supongamos WLOG que $M\in AB$, $N\in BC$, y sean $M'$ y $N'$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo tenemos que $OA=OB=OC$, luego $\angle MBO=\angle ABO=\angle OAB=\angle CAB$, y por arco capaz resulta $\angle MNO=\angle MBO$, además $\angle MON=90°=\angle NBM=\angle CBA$ por arco capaz, luego $\triangle NOM\simeq \triangle ABC$, de donde $\frac{OM}{BC}=\frac{AC}{NM}=2=\frac{OM'}{BC}$, luego $OM=OM'$, pero por Pitágoras tenemos $M'M^2+M'O^2=MO^2$, es decir que $M'M^2=0$, por lo que $M=M'$. Análogamente, $N=N'$, y con eso estamos.
[math]

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Turko Arias

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Re: Primer Pretorneo 2019 NM P2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Mié 01 May, 2019 9:22 pm

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$O$ pto medio de $AC$, por mediana correspondiente a hipotenusa y por enunciado, tenemos $AO=OC=OB=MN$, pero $\angle MBN=90$, con lo que $MN$ es diametro de la circunferencia, y por ende $MN$ también lo es. Tenemos entonces que $MONB$ es un rectángulo, de donde $MO//BN$ y además $O$ pto medio, luego $MO$ es base media y lo mismo con $NO$ así que c'est fini :D
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