OMCC 2019 - P3

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 22 Jun, 2019 4:22 pm

Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$.
Demostrar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$, respectivamente, se cortan sobre $AD$.
[math]

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Re: OMCC 2019 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 22 Jun, 2019 10:04 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sean $H$ el ortocentro de $ABC$, $H'$ el reflejo de $H$ por $BC$, $F$ el punto medio de $DH'$, y $G$ el punto medio de $BC$. Y supongamos WLOG $AB<AC$.
Por las reflexiones del ortocentro, tenemos que $H,G,Q$ están alineados y que $H'\in \Gamma$. Luego, por base media tenemos $EG\parallel HD\perp BC$, y también $EF\parallel H'Q\perp DF$, por lo que $DGFE$ es un rectángulo, es decir que $DF=GE$ y $EF\parallel GD\parallel BC\parallel MN$. Por ser mediana a la hipotenusa tenemos $DM=\frac{1}{2}AB$ y $\angle BDM=\angle DBA=\angle CBA$, y por base media tenemos $GN=\frac{1}{2}AB$, luego $DM=GN$ y $\angle CGN=\angle CBA$, por lo que $\angle FDM=\angle FDB+\angle BDM=90°+\angle CBA=\angle EGC+\angle CGN=\angle EGN$.
En resumen, $DF=GE$, $DM=GN$ y $\angle FDM=\angle EGN$, por lo que $\triangle FDM\equiv \triangle EGN$, de donde $EN=FM$. Entonces $EFMN$ es un trapecio isósceles, por lo que es cíclico.
Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\odot EFMN$ y $AD$, luego $EF\perp HD\Rightarrow EF\perp FX$, por lo que $EX$ es diámetro de $\odot EFMN$, entonces $MX\perp EM$ y $NX\perp EN$. Es decir que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ por $M$ y $N$ respectivamente se cortan en $X$, que está sobre $AD$.
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[math]

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