Zonal N3 P3 2019

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Joacoini

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Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 28 Jun, 2019 10:37 pm

En el triángulos isósceles $ABC$, con $AB=AC$, sea $P$ el punto de $AC$ tal que $BP$ es perpendicular a $AC$, y sea $Q$ el punto de $BC$ tal que $PQ$ es perpendicular a $BC$. Si $BP=5$ y $PQ=3$, calcular la medida de los lados del triángulo $ABC$.
NO HAY ANÁLISIS.

marianoPeesopi
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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por marianoPeesopi » Vie 28 Jun, 2019 10:56 pm

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me dio que el área era $\frac{6\times \sqrt{108}}{2}$ = $3\times \sqrt{108}$ = $6\times \sqrt{27}$

mmnn
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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por mmnn » Vie 28 Jun, 2019 11:14 pm

marianoPeesopi escribió:
Vie 28 Jun, 2019 10:56 pm
Spoiler: mostrar
me dio que el área era $\frac{6\times \sqrt{108}}{2}$ = $3\times \sqrt{108}$ = $6\times \sqrt{27}$
Habia que calcular las medidas de los lados de ABC
2  

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Gianni De Rico

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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 28 Jun, 2019 11:18 pm

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Por Pitágoras tenemos $CQ=4$. Notemos ahora que $\angle BPQ=\angle BPC-\angle QPC=90°-\angle QPC=\angle PCQ$ y $\angle BQP=90°=\angle PQC$, luego $\triangle BPQ\simeq \triangle PCQ$, de donde $BQ=\frac{9}{4}$ y $BP=\frac{15}{4}$, entonces $BC=\frac{25}{4}$. Sea $D$ el punto medio de $BC$, entonces $AD\perp BC\perp PQ\Rightarrow AD\parallel PQ$ y por Thales resulta $AC=AB=\frac{175}{24}$.
[math]

bmth2001
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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por bmth2001 » Sab 29 Jun, 2019 8:43 am

Lo acabo de comprobar con GeoGebra y creo que a mí me dió bien.
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AC = 6,25
y
AB y BC = 5,21
Spoiler: mostrar
Primero calculé BQ con pitágoras, y da 4.

Después, asumiendo que BPC es escaleno, averigué QC [PQ = la raiz de (BQ . QC)], y me dió 2,25. después, para que el resultado no estuviera basado en algo que asumí, lo comprobé con el teorema del cateto [PB^2 = BC . BQ], tomando BC como 6,25; y se cumplió.

Después de eso averigué PC. Podía hacerlo con teorema de pitágoras o con el teorema del cateto. Me dio 3,75.

A partir de eso hice un punto Z y un punto X, que fueran igual que P y Q respectivamente, pero Z sobre AB. Entonces, ZX medía 3 y BX medía 2,25. Por lo tanto, me quedaba un rectángulo PQXZ con dos lados de 3 y dos lados de 1,75

Y sabiendo que AZP es proporcional a ABC, calculé las medidas AP Y AZ (que tenían que ser lo mismo).

Primero me fijé que la relación entre la base BC y la base ZP era dividir la primera por 3,57. [6,25 / 3,57 = 1,75]

Por eso AC / 3,57 = AP

Tuve que hacer una ecuación ahí

AC / 3.57 = (AC - 3,75)
AC = 3,57 AC - 13,3875
-2,57 AC = -13,3875
AC = -13,3875/-2,57 = 5,21

me dió que AC =
5,21, y comprobé [5,21 / 3,57 = 1,46] y [1,46 + 3,75 = 5,21]
Última edición por bmth2001 el Sab 29 Jun, 2019 10:26 am, editado 3 veces en total.

mmnn
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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por mmnn » Sab 29 Jun, 2019 9:11 am

A mi me dio
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BC=25/4 y AC=AB=125/24

Lautaro Saba
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Re: Zonal N3 P3 2019

Mensaje sin leer por Lautaro Saba » Sab 29 Jun, 2019 1:28 pm

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Por Pitágoras $\sqrt{BP^2-PQ^2}=BQ=4$, luego también,
$\angle CPQ=90°-\angle BPQ$
$\angle PBQ=180°-90°-\angle BPQ$
por lo tanto,
$\angle CPQ=\angle PBQ$
Esto nos dice que $\triangle {BPQ}\simeq \triangle {CPQ}$, entonces podemos calcular
$$\frac{CQ}{PQ}=\frac{PQ}{BQ}$$ $$CQ=\frac{PQ^2}{BQ}=\frac{9}{4}=2.25$$
y también,
$$\frac{CP}{BP}=\frac{PQ}{BQ}$$ $$CP=\frac{PQ\times BP}{BQ}=\frac{15}{4}=3.75$$
Ahora sea $D$ en $CB$, tal que $AD$ es perpendicular a $CB$. Por ángulos iguales $\triangle {CPQ}\simeq \triangle {ACD}$ y al ser isósceles $\triangle {ABC}$, $$CD=\frac{BC}{2}=\frac{BQ+CQ}{2}=\frac{6.25}{2}=\frac{25}{8}=3.125$$
por semejanza podemos calcular
$$\frac{AC}{CP}=\frac{CD}{CQ}$$ $$AC=\frac{CD\times CP}{CQ}=\frac{125}{24}=5.208\bar{3}$$
resumiendo ya sabemos que, $AB=AC=\frac{125}{24}=5.208\bar{3}$ y $BC=\frac{25}{4}=6.25$
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