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Zonal N2 P3 2019

Publicado: Vie 28 Jun, 2019 11:14 pm
por Joacoini
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC=12$ y $\widehat A=30°$. Sea $D$ el punto interior al triángulo $ABC$ tal que $BD=CD$ y $\widehat{BDC}=150°$. La recta $BD$ corta al lado $AC$ en $E$. Calcular el área del triángulo $ABE$.

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 12:09 am
por Nacho_Sami
Donde dice ABC=150 creo que en realidad es ADC=150

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 1:34 pm
por marianoPeesopi
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me dio que el área era $\frac{6\times \sqrt{108}}{2}$ = $3\times \sqrt{108}$ = $6\times \sqrt{27}$

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 2:20 pm
por Gianni De Rico
marianoPeesopi escribió:
Sab 29 Jun, 2019 1:34 pm
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me dio que el área era $\frac{6\times \sqrt{108}}{2}$ = $3\times \sqrt{108}$ = $6\times \sqrt{27}$
Contá cómo lo pensaste, así los otros chicos pueden ver la solución

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 10:15 pm
por MateoD
A mi me dio 18u^2

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 10:44 pm
por NicolasC
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En primera instancia notamos que el triángulo ABC es isósceles y como <A=30° entonces <B=<C=(180°-30°)/2=75°. Luego podemos determinar que el triángulo BDC es isósceles pues BD=CD y además sabemos que <BDC=150° por lo que podemos definir que <DBC=<BCD=(180°-150°)/2=15°. Observemos ahora que al ser <B=75° y <DBC=15°, por consiguiente, <ABE=60° y obtenemos así que el triángulo ABE es rectángulo en E ya que <A=30° y, como dijimos anteriormente, <ABE=60° con lo cual, por suma de ángulos interiores de un triángulo definimos que <AEB=90°.
Ahora, por otro lado, tenemos como información que AB=12 y se puede decir que el triángulo ABE es un medio equilátero donde BE es el lado opuesto al ángulo de 30° y es así que obtenemos que BE = 6 (porque en los triángulos equiláteros, todos sus lados son iguales y al trazar la altura, esta corta perpendicularmente al lado y lo divide en 2 iguales, así que si AB=12 entonces BE=6)
Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo, esta es: A. ABE= ½ AB . BE . sen(<ABE)= ½ 12 . 6 . sen(60)=6 . 6 . √3/2=3 . 6 . √3=18√3 (medida en unidades de superficie)

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 11:08 pm
por Gianni De Rico
NicolasC escribió:
Sab 29 Jun, 2019 10:44 pm
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Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo
O también
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Aprovechar que es un triángulo rectángulo, usar Pitágoras para sacar el otro cateto, y usar la fórmula $S(\Delta )=\frac{b\cdot h}{2}$

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Sab 29 Jun, 2019 11:12 pm
por NicolasC
Gianni De Rico escribió:
Sab 29 Jun, 2019 11:08 pm
NicolasC escribió:
Sab 29 Jun, 2019 10:44 pm
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Y acá ya tenemos todos los datos para calcular el área del triángulo ABE, solo basta con utilizar la forma trigonométrica de la fórmula del área de un triángulo
O también
Spoiler: mostrar
Aprovechar que es un triángulo rectángulo, usar Pitágoras para sacar el otro cateto, y usar la fórmula $S(\Delta )=\frac{b\cdot h}{2}$
Exacto

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Dom 30 Jun, 2019 7:30 pm
por ricarlos
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Creo que el resultado no es correcto. Ya que el angulo ADC es el doble del angulo ABC entonces ADC es un angulo central del circuncirculo de ABC, es decir que AD=BD=CD.

Re: Zonal N2 P3 2019

Publicado: Dom 30 Jun, 2019 8:38 pm
por Gianni De Rico
ricarlos escribió:
Dom 30 Jun, 2019 7:30 pm
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Creo que el resultado no es correcto. Ya que el angulo ADC es el doble del angulo ABC entonces ADC es un angulo central del circuncirculo de ABC, es decir que AD=BD=CD.
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El resultado es correcto, si completás los ángulos se puede ver que $\angle ADC=105°$, que no es en el doble de $\angle ABC=75°$. Incluso si lo fuera, esto no implica que $D$ sea el circuncentro de $ABC$, solamente significa que pertenece al arco $BC$ del circuncírculo de $BOC$ que contiene a $O$, donde $O$ es el circuncentro de $ABC$. Hay infinitos puntos que cumplen eso, como ya se discutió acá.