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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P2

Publicado: Sab 06 Jul, 2019 3:58 pm
por Gianni De Rico
Un tablero cudriculado de $10\times 10$ se divide en $20$ polígonos de igual área mediante $80$ de los lados de los cuadraditos, de forma que ninguno de los lados está sobre el borde del tablero.
Demostrar que todos los polígonos son congruentes.

Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P2

Publicado: Vie 23 Abr, 2021 11:40 pm
por Sandy
Solución:
Spoiler: mostrar
Primero notemos que, al ser $20$ polígonos de igual área, cada uno tendrá área $\frac{10\times 10}{20}=5$.
Además, al ser $80$ los lados que dividen polígonos, la suma de los perímetros de los $20$ polígonos será $10\times 4+80\times 2=200$. En promedio, el perímetro de cada uno será $10$, luego si hay uno de perímetro mayor que $10$, habrá al menos uno de perímetro menor.
Pero veamos los $10$ posibles polígonos (o pentaminós), con sus respectivos perímetros:

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Notemos que no hay ninguno de perímetro menor que $10$, luego todos los del tablero deben tener perímetro $10$. Pero hay un único polígono con perímetro $10$, luego deben ser los $20$ congruentes a ése.
Una manera (no sé si la única) de hacer las divisiones es la siguiente:

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