Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P3

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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 4:53 pm

Sea $M$ el punto medio de la base $AC$ del triángulo isósceles $ABC$. Se eligen los puntos $E$ y $F$ en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente de forma que $AE\neq CF$ y $\angle FMC=\angle MEF=\alpha$.
Hallar el valor de $\angle AEM$.
[math]

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DiegoLedesma
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Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 15 Jul, 2019 12:37 pm

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Construimos la circunferencia de centro $O$, con $E$, $M$ y $F$ pertenecientes a la misma.
Sea $F'$ perteneciente a $AB$, tal que $AF'$=$CF$. Por ser $MF'$=$MF$, se tiene que $F'$ también pertenece a la crcunferencia. Además $\widehat{AMF'}$=$\widehat{CMF}$=$\alpha$ $\Rightarrow$ $\widehat{FMF'}$=180º-2$\alpha$.
Por ser $EFMF'$ cíclico: $\widehat{AEM}$+$\widehat{MEF}$=$2\alpha$ $\Rightarrow$ $\widehat{AEM}$+$\alpha$=$2\alpha$
$\therefore$ $\widehat{AEM}$=$\alpha$

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