Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 5:51 pm

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de centro $O$, que no pertenece a ninguna de sus diagonales.
Si el circuncírculo de $AOC$ pasa por el punto medio de $BD$, demostrar que el circuncírculo de $BOD$ pasa por el punto medio de $AC$.
[math]

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 07 Jul, 2019 12:16 am

Solución:
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Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente, y sea $F'$ el inverso de $F$ por $\Omega$. Luego, $OE\perp BD$; y $OF'$ es diámetro de $\odot OAF'C$, de donde $OE\perp EF'$, por lo que $B,E,D,F'$ están alineados, de donde $O,F,D,B$ son concíclicos.
[math]

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