¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

BrunZo

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¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 09 Jul, 2019 11:09 am

Problema:
Sea $ABCD$ un cuadrilátero que cumple:
  • Existe una circunferencia que pasa por $A$, $B$, $C$, $D$.
  • Existe una circunferencia que es tangente a los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
  • Se cumple que $AB\cdot CD=BC\cdot AD$.
Determinar si es cierto que esto implica que $ABCD$ es un romboide.

lucasdeamorin

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Re: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

Mensaje sin leer por lucasdeamorin » Mar 09 Jul, 2019 1:59 pm

Hint(¿?):
Spoiler: mostrar
La segunda condición es equivalente a $AB+CD=AD+BC$.
Si X tiende a [math], [math] se seca.

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Vladislao

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Re: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

Mensaje sin leer por Vladislao » Mié 10 Jul, 2019 2:19 am

Spoiler: mostrar
La primera condición ni siquiera hace falta. Usas el Teorema de Pitot (o el hint de Lucas), elevás al cuadrado esa igualdad, y restás la tercera condición, y rematás con esto viewtopic.php?f=6&t=187#p312.

PD: Esto prueba que las diagonales son perpendiculares. Un romboide es otra cosa.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Joacoini

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Re: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 10 Jul, 2019 7:24 am

Vladislao escribió:
Mié 10 Jul, 2019 2:19 am
Spoiler: mostrar
La primera condición ni siquiera hace falta. Usas el Teorema de Pitot (o el hint de Lucas), elevás al cuadrado esa igualdad, y restás la tercera condición, y rematás con esto viewtopic.php?f=6&t=187#p312.

PD: Esto prueba que las diagonales son perpendiculares. Un romboide es otra cosa.
Spoiler: mostrar
Después de eso podés usar la primera condición, agarras dos puntos opuestos, trazas las tangentes y de ahí una perpendicular a la diagonal y te queda romboide.
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: ¿Circunscriptible + Armónico = Romboide?

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 10 Jul, 2019 10:10 am

O, podemos hacer algo mucho más fácil
Spoiler: mostrar
Multiplicás la primer igualdad por $CD$, usás la segunda para reemplazar $AB\cdot CD$, y notás que eso se factoriza como $(BC-CD)(DA-CD)=0$, de donde alguno entre $BC$ y $DA$ debe ser igual a $CD$, y reemplazando en la primer igualdad, el otro debe ser igual a $AB$. Listo.
[math]

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