Regional 2019 - N1 - P3

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AgusBarreto

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Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm

Sea $\mathfrak{C}$ una circunferencia de radio $r=4$. El cuadrado $ABCD$ tiene sus vértices sobre $\mathfrak{C}$. Otro cuadrado $PQRS$ tiene dos vértices $P$ y $Q$ sobre $\mathfrak{C}$ y los otros dos vertices, $R$ y $S$ sobre un diámetro de $\mathfrak{C}$.

Calcular $\dfrac{\text{área}(ABCD)}{\text{área}(PQRS)}$

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Dauphineg

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Re: Regional 2019 - N1 - P3

Mensaje sin leer por Dauphineg » Vie 13 Sep, 2019 1:45 am


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Mazzo

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Re: Regional 2019 - N1 - P3

Mensaje sin leer por Mazzo » Vie 13 Sep, 2019 9:25 pm

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Sea $x$ el lado del cuadrado $ABCD$. Como las diagonales de un cuadrado son diámetros de su circunferencia circunscripta, $AC=8$ y $BD=8$ son diámetros de $\mathfrak{C}$. Entonces por Pitágoras tenemos que $x^2+x^2=8^2$, lo que implica que $\text{área}(ABCD)=x^2=\frac{64}{2}=32$.

Sea $O$ el centro de $\mathfrak{C}$. Supongamos que $R$ y $S$ se encuentran en $AC$. Como $P$ y $Q$ son vértices consecutivos de $PQRS$, $PQ \parallel AC$. Además, $PS \perp AC$ y $QR \perp AC$. Como $OP=OQ$ por ser radios $\mathfrak{C}$, los triángulos rectángulos $SPO$ y $QRO$ son iguales ya que comparten la hipotenusa y uno de sus catetos . Esto implica que $SO=OR=y$. Entonces el lado del cuadrado $PQRS$ vale $2y$. Nuevamente por Pitágoras tenemos que $y^2+{2y}^2=4^2$. De esto se desprende que $\text{área}(PQRS)=4y^2=\frac{64}{5}$.

Finalmente $\dfrac{\text{área}(ABCD)}{\text{área}(PQRS)}=\dfrac{x^2}{4y^2}=\dfrac{32}{\frac{64}{5}}=\frac{5}{2}$

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