Sea $\mathscr{C}$ una circunferencia de radio $r=4$. El cuadrado $ABCD$ tiene sus vértices sobre $\mathscr{C}$. Otro cuadrado $PQRS$ tiene dos vértices $P$ y $Q$ sobre $\mathscr{C}$ y los otros dos vertices, $R$ y $S$ sobre un diámetro de $\mathscr{C}$.
Sea $x$ el lado del cuadrado $ABCD$. Como las diagonales de un cuadrado son diámetros de su circunferencia circunscripta, $AC=8$ y $BD=8$ son diámetros de $\mathscr{C}$. Entonces por Pitágoras tenemos que $x^2+x^2=8^2$, lo que implica que $\text{área}(ABCD)=x^2=\frac{64}{2}=32$.
Sea $O$ el centro de $\mathscr{C}$. Supongamos que $R$ y $S$ se encuentran en $AC$. Como $P$ y $Q$ son vértices consecutivos de $PQRS$, $PQ \parallel AC$. Además, $PS \perp AC$ y $QR \perp AC$. Como $OP=OQ$ por ser radios $\mathscr{C}$, los triángulos rectángulos $SPO$ y $QRO$ son iguales ya que comparten la hipotenusa y uno de sus catetos . Esto implica que $SO=OR=y$. Entonces el lado del cuadrado $PQRS$ vale $2y$. Nuevamente por Pitágoras tenemos que $y^2+{2y}^2=4^2$. De esto se desprende que $\text{área}(PQRS)=4y^2=\frac{64}{5}$.