Regional 2019 - N2 - P3

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AgusBarreto

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Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:59 pm

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ en el segmento $BC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $B\widehat{A}C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Se traza por $M$ la paralela a $AD$ que corta a la recta $AB$ en $E$ y al segmento $AC$ en $F$. Además, la paralela a $AD$ trazada por $B$ corta a la recta $AC$ en $G$. Si $AB=7$ y $AC=10$, calcular las longitudes de los segmentos $AG$ y $BE$.

LorenzoRD
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Re: Regional 2019 - N2 - P3

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Jue 12 Sep, 2019 6:31 pm

Me dió AG = 7 y BE = 8,5.

No recuerdo exactamente cómo lo hice pero fue solamente semejanza y sumar ángulos (y en un momento que tuve que marcar el punto medio de AC).

Santito
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Re: Regional 2019 - N2 - P3

Mensaje sin leer por Santito » Jue 12 Sep, 2019 7:46 pm

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Como AD es bisectriz de $\angle BAC$:
$\angle CAD = \angle DAB = α$

Por ángulos entre paralelas, $\angle ABG = α$ (alterno interno con $\angle DAB$).

Como $\angle CAD + \angle DAB + \angle BAG = 180°$, $\angle BAG = 180° - 2α$.

Por sumatoria de ángulos interiores en GAB, $\angle AGB = α$, es decir que GAB es isósceles con AB = AG = 7.

Luego, por Teorema de la Bisectríz, AB/AC = $\dfrac{BD}{BC}$ = $\dfrac{7}{10}$. Como M es punto medio de BC, $\dfrac{BD}{BC}$ = $\dfrac{CM-MD}{CM+MD}$ = $\dfrac{7}{10}$.

Siguiendo, 7CM + 7 MD = 10 CM - 10 MD. $CM = \dfrac{17}{3} MD$

Como MF y DA son paralelas, CMF y CDA son semejantes (por Thales). Entonces, $\dfrac{CD}{MD} = \dfrac{CA}{FA}$

$\dfrac{17/3MD+MD}{MD} = \dfrac{10}{FA}$

$\dfrac{20}{3} = \dfrac{10}{FA}$

$3/2 = FA$

Ahora, como CMF y CDA son semejantes, $\angle MFC = α$ y por opuestos por el vértice $\angle AFE = α$.

Como $\angle BAD + \angle DAF + \angle FAE = 180°$, $\angle FAE = 180° - 2α$.

Por sumatoria de ángulos interiores en AFE, $\angle AEF = α$, es decir que AEF es isósceles con AE = AF = 1,5.

BE = BA + AE = 7 + 1,5 = 8,5.

Nahuel solivella
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Re: Regional 2019 - N2 - P3

Mensaje sin leer por Nahuel solivella » Vie 13 Sep, 2019 12:00 am

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Bueno, lo que yo hice primero fue calcular BC por el teorema del cateto, ya que mi triangulo era rectángulo, ya que BC es la hipotenusa BC=√(AC²+AB²)=√149, luego calculé los ángulos por pitagoras, y saqué los demás ángulos haciendo restas de 90- x o 180- x, luego de eso se puede saber que AGB es isósceles por lo cual AG=AB=7 y también se sabe que AFE es isósceles, por lo cual AE=AF, por esto si calculamos AF podemos calcular la medida de BE, a partir de que BE=AB+AE, para calcular AF se necesita calcular CF, ya que AF=AC-CF y aquí entra el teorema de tales en triángulos, se puede ver a simple vista que CGB es la extensión del triángulo CFM, por lo cual sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales, sabiendo que M es el punto medio de BC, se sabe que CM=MB=(√149)/2 por esto se puede predecir, sabiendo que los triángulos CFM y CGB son proporcionales, que los lados de CFM miden la mitad de los lados de CGB, por lo cual sabiendo que CG=AC+AG=17, se puede calcular que CF=17/2=8,5 entonces AF=10-8,5=1,5 y como AF=AE sabemos que AE=1,5 y con esto calculamos BE, BE=AB+AE BE=7+1,5 y pum, sorpresa, nos da que BE=8,5

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